Phép chiếu lên tập lồi

Phép chiếu Euclid của z lên đóng C là điểm của C gần z nhất, ký hiệu ${\mathrm{\Pi }}_C(z)$. Điểm p là hình chiếu khi và chỉ khi $p\in C$ và $(p-z{)}^T(y-p)\ge 0$ với mọi $y\in C$.

Lĩnh vực: Tối ưu hóa

Định nghĩa trên trang này được dùng trong lĩnh vực vừa nêu. Một từ giống nhau ở môn khác có thể mang nghĩa khác.

Giải thích kỹ thuật

Đặc trưng. Hình chiếu tồn tại và duy nhất với mọi đóng khác rỗng. Điều kiện $(p-z{)}^T(y-p)\ge 0$ chính là điều kiện tối ưu bậc nhất của bài toán cực tiểu $\frac{1}{2}\parallel y-z{\parallel }_2^2$ trên $C$.

có chiếu. Với bài toán lồi khả vi, $x$ tối ưu khi và chỉ khi $x={\mathrm{\Pi }}_C(x-t\mathrm{\nabla }{f}_0(x))$ với $t>0$. Lặp $x^{(k+1)}={\mathrm{\Pi }}_C(x^{(k)}-t\mathrm{\nabla }{f}_0(x^{(k)}))$ là phương pháp gradient có chiếu. Phép chiếu có công thức đóng cho hình hộp, quả cầu Euclid, nón không âm và . Nguồn: Convex Optimization, §4.2.3 và §8.1.

Ví dụ

Chiếu $z=(1.6,0.5)$ lên hình vuông $[0,1{]}^2$ bằng cách kẹp từng tọa độ vào đoạn $[0,1]$ được $(1,0.5)$.

Khi nào cần dùng?

Phương pháp có chiếu cho bài toán có ràng buộc đơn giản như hình hộp, quả cầu hay nón không âm.

Câu hỏi ôn lại

Nếu C là một không gian con thì phép chiếu Euclid có dạng gì quen thuộc?

Xem đáp án

Đó là phép chiếu trực giao lên không gian con, một ánh xạ tuyến tính.

Thuật ngữ liên quan

• Tập lồi
• Gradient
• Chuẩn vector