Phần bù Schur

Với một đối xứng chia khối gồm các khối $A$, $B$, $B^T$, $C$ với $A$ khả nghịch, phần bù Schur của A là $S=C-B^T{A}^{-1}B$. Khi $A\succ 0$, ma trận khối khi và chỉ khi S nửa xác định dương. S cũng là giá trị nhỏ nhất của dạng toàn phương của ma trận khối theo khối biến thứ nhất.

Lĩnh vực: Tối ưu hóa

Định nghĩa trên trang này được dùng trong lĩnh vực vừa nêu. Một từ giống nhau ở môn khác có thể mang nghĩa khác.

Giải thích kỹ thuật

khối. Với $X=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ B^T& C\end{array}\right]$ và $A\succ 0$, giá trị nhỏ nhất theo $u$ của dạng toàn phương tại $(u,v)$ là $v^{T}Sv$, đạt tại $u=-A^{-1}Bv$. Từ đó $X\succ 0⟺A\succ 0,S\succ 0$, và nếu $A\succ 0$ thì $X⪰0⟺S⪰0$. Ngoài ra $detX=detAdetS$.

Ứng dụng. Viết thành các ràng buộc $x^{T}x/y\le t$, $\parallel u{\parallel }_2\le t$ và chuẩn phổ $\parallel A(x){\parallel }_2\le t$, nhờ đó mọi là SDP. Nguồn: Convex Optimization, §A.5.5 và §4.6.3.

Ví dụ

Ràng buộc $\parallel u{\parallel }_2\le t$ tương đương với việc khối có khối trên trái $tI$, cột $u$ và góc dưới phải $t$ .

Khi nào cần dùng?

Viết ràng buộc phi tuyến thành , khử một khối biến trong hàm toàn phương.

Câu hỏi ôn lại

có hàng (2, 1) và (1, 1) có dương xác định không?

Xem đáp án

Có. Phần bù Schur của phần tử 2 là $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}>0$, và phần tử 2 dương.

Thuật ngữ liên quan

• Ma trận nửa xác định dương
• Quy hoạch nửa xác định (SDP)
• Quy hoạch nón bậc hai (SOCP)