Ma trận nửa xác định dương

đối xứng thực P là nửa xác định dương (PSD), viết $P⪰0$, nếu $v^{T}Pv\ge 0$ với mọi v. P dương xác định (PD) nếu $v^{T}Pv>0$ với mọi v khác 0. Dấu từng phần tử không quyết định PSD.

Lĩnh vực: Tối ưu hóa

Định nghĩa trên trang này được dùng trong lĩnh vực vừa nêu. Một từ giống nhau ở môn khác có thể mang nghĩa khác.

Bài giảng dùng khái niệm này

• Ôn tập nền tảng toán học cho AIToán cho AI
• Giới thiệu tối ưu, tập lồi và hàm lồiToán cho AI
• Các bài toán tối ưu lồiToán cho AI
• Tối ưu không ràng buộc và ràng buộc đẳng thứcToán cho AI

Giải thích kỹ thuật

Với $P=P^T$, điều kiện $P⪰0$ tương đương mọi của $P$ không âm. Điều kiện $P\succ 0$ tương đương mọi trị riêng dương. Ký hiệu $P⪰Q$ nghĩa là $P-Q$ PSD, khác so sánh từng phần tử.

Ví dụ $\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]$ là PSD dù có phần tử âm, vì dạng toàn phương là $(v_1-v_2{)}^2\ge 0$. Với tích $A^{T}A$, tính PD đòi hỏi các cột của $A$ độc lập tuyến tính, tức phương trình $Av=0$ chỉ có nghiệm duy nhất $v=0$. Nguồn: Convex Optimization, §A.5.2 và §2.2.5.

Ví dụ

$$P=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]$$

không PSD: Với $v=(1,-1{)}^T$, ta được $v^{T}Pv=-2$. Ngược lại, $A^{T}A$ luôn PSD vì $v^T{A}^{T}Av=\parallel Av{\parallel }_2^2\ge 0$.

Khi nào cần dùng?

Kiểm và ràng buộc . Nhận biết khi nào hệ Newton có hướng giảm.

Câu hỏi ôn lại

diag(1,0) là PSD hay PD?

Xem đáp án

PSD, không PD: Với $v=(0,1)$ khác 0, dạng toàn phương bằng 0.

Thuật ngữ liên quan

• Ma trận
• Trị riêng & vector riêng
• Hessian