Chuyển động trên đường thẳng

Cấu trúc bài giảng

Chuyên đề bao gồm hệ thống lý thuyết cốt lõi (mục 2.1–2.6), sơ đồ tóm tắt kiến thức, hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng, bài toán tổng hợp, câu hỏi thảo luận đào sâu bản chất, 92 bài tập tự luyện và bảng đáp số tham khảo đối chiếu.

Hình 2.0: Vận động viên điền kinh tăng tốc bứt phá và giảm tốc sau vạch đích — hiện tượng điển hình của chuyển động một chiều

Bài tập: Khởi động: Khi nào thì người chạy thực sự có gia tốc?

Trong một cuộc chạy nước rút cự ly $100 m$ , vận động viên tăng tốc dũng mãnh ngay sau phát súng lệnh, duy trì tốc độ cao nhất qua vạch đích, rồi dần dần chậm lại sau khi đã kết thúc cuộc đua. Trong giai đoạn nào của chuyển động, ta có thể khẳng định chính xác về mặt vật lý rằng người chạy đang có ?

(i) Chỉ trong khi thi đấu trên đường chạy;
(ii) Chỉ sau khi đã vượt qua vạch đích;
(iii) Cả trong khi thi đấu và sau khi qua vạch đích;
(iv) Không giai đoạn nào có ;
(v) Kết quả phụ thuộc vào mức độ tăng tốc ban đầu.

Một chiếc máy bay thương mại cần một đường băng dài bao nhiêu mét để đạt đủ tốc độ cất cánh an toàn? Khoảng cách phanh khẩn cấp của một chiếc ô tô trên đường cao tốc tăng lên gấp mấy lần khi tốc độ xe tăng gấp đôi? Khi bạn vô tình làm tuột tay một chiếc cốc thủy tinh, bạn có đúng bao nhiêu phần trăm giây để kịp vung tay chụp lại trước khi nó vỡ tan trên sàn nhà?

Tất cả những câu hỏi sinh động trên đều quy tụ về bài toán của động học (kinematics) — phân ngành cơ học nghiên cứu việc mô tả chuyển động của các vật thể trong không gian và thời gian mà chưa cần xét đến nguyên nhân gây ra chuyển động (lực).

Chương 2 khởi đầu hành trình cơ học bằng trường hợp cơ bản và quan trọng nhất: Chuyển động trên đường thẳng (chuyển động một chiều). Chúng ta sẽ xây dựng hệ thống khái niệm định lượng chặt chẽ để phân biệt những cặp đại lượng thường bị đánh đồng trong ngôn ngữ đời thường:

và Quãng đường;
và Tốc độ;
và sự thay đổi tốc độ (xóa tan ngộ nhận muôn thuở: Gia tốc âm không đồng nghĩa với chuyển động chậm dần!).

Đặc biệt, chương này sẽ trang bị cho bạn hệ 4 phương trình động học kinh điển cho chuyển động biến đổi đều, làm chủ hiện tượng dưới tác dụng của trọng trường, và vận dụng công cụ giải tích vi ( $d x / d t, d v / d t, \int v d t$ ) để khai mở các chuyển động phức tạp trong thế giới thực.

Mục tiêu học tập trọng tâm

và (Mục 2.1): Nắm vững bản chất đại số của tọa độ vị trí, độ dời $Δ x$ , và mối liên hệ giữa vận tốc trung bình với độ dốc của cát tuyến trên đồ thị $x - t$ .
(Mục 2.2): Hiểu sâu sắc khái niệm $v_{x} = d x / d t$ như là tiếp tuyến của đồ thị chuyển động; phân biệt rạch ròi vận tốc tức thời và .
(Mục 2.3): Làm chủ bậc hai $a_{x} = d v_{x} / d t = d^{2} x / d t^{2}$ ; nhận thức quy tắc then chốt về dấu của tích $v_{x} \cdot a_{x}$ quyết định chuyển động nhanh dần hay chậm dần; khám phá ứng dụng cảm biến gia tốc MEMS trong smartphone và túi khí ô tô.
Chuyển động thẳng biến đổi đều (Mục 2.4): Làm chủ 4 phương trình động học cốt lõi; khai thác công thức độc lập với thời gian ( $v_{x}^{2} - v_{0 x}^{2} = 2 a_{x} Δ x$ ) và ý nghĩa diện tích dưới đồ thị $v - t$ .
(Mục 2.5): Giải mã chuyển động của vật dưới gia tốc trọng trường $g$ ; phân tích sâu trạng thái tại đỉnh quỹ đạo ném đứng (tại sao triệt tiêu nhưng vẫn khác không!).
trong động học (Mục 2.6): Sử dụng tích phân xác định để truy tìm từ và vị trí từ vận tốc khi gia tốc biến thiên theo thời gian.

Kiến thức nền tảng cần huy động (từ Chương 1)

và đại số thành phần: Chiếu vector lên trục tọa độ định hướng (Mục 1.7, 1.8).
Phân tích thứ nguyên và đổi đơn vị: Quy đổi nhịp nhàng giữa $m / s$ và $km / h$ (Mục 1.4).

2.1. Độ dời, thời gian và vận tốc trung bình

Để nghiên cứu chuyển động của một vật thể, bước đầu tiên và cơ bản nhất là thiết lập một hệ tọa độ gắn với một mốc quy chiếu xác định.

Xét một chiếc xe đua tăng tốc trên một đường chạy thẳng tắp (Hình 2.1). Ta chọn trục tọa độ $O x$ trùng với đường chạy, gốc $O$ đặt tại vạch xuất phát, và chiều dương $+ x$ hướng theo chiều chuyển động về phía trước (sang phải). Vì kích thước của chiếc xe là rất nhỏ so với toàn bộ chiều dài đường đua, ta áp dụng mô hình chất điểm bằng cách chọn một điểm đại diện trên xe (chẳng hạn đầu xe) để biểu diễn vị trí của toàn bộ chiếc xe.

Hình 2.1: Tọa độ vị trí của xe đua tại hai thời điểm khác nhau trên trục Ox

Giả sử tại thời điểm $t_{1} = 1.0 s$ sau khi xuất phát, đầu xe ở vị trí $P_{1}$ có tọa độ $x_{1} = 19 m$ . Đến thời điểm $t_{2} = 4.0 s$ , xe đã lao tới vị trí $P_{2}$ có tọa độ $x_{2} = 277 m$ .

Trong khoảng thời gian $Δ t = t_{2} - t_{1} = 4.0 s - 1.0 s = 3.0 s$ , tọa độ của xe đã biến thiên một lượng:

Δ x = x_{2} - x_{1} = 277 m - 19 m = + 258 m .

(2.1)

Đại lượng $Δ x$ được gọi là thành phần (hay ngắn gọn là độ dời) của chất điểm dọc theo trục $x$ .

Bản chất của ký hiệu biến thiên $Δ$ (Delta)

Ký hiệu $Δ x$ không phải là tích của chữ cái $Δ$ nhân với $x$ . Trong toán học và vật lý, chữ cái Hy Lạp viết hoa $Δ$ (delta) là một toán tử biểu thị độ biến thiên: Luôn lấy giá trị lúc sau trừ đi giá trị lúc đầu:

Δ X = X_{final} - X_{initial} .

Tương tự, $Δ t = t_{2} - t_{1}$ là khoảng thời gian trôi qua giữa hai sự kiện (luôn là số dương).

Vận tốc trung bình (Average Velocity)

Để đo lường mức độ nhanh hay chậm của sự thay đổi vị trí, ta định nghĩa thành phần dọc theo trục $x$ (ký hiệu $v_{tb - x}$ hoặc $v_{av - x}$ ) là tỷ số giữa và khoảng thời gian diễn ra độ dời đó:

v_{av - x} = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} .

(2.2)

Với chuyển động của chiếc xe đua ở trên:

v_{av - x} = \frac{277 m - 19 m}{4.0 s - 1.0 s} = \frac{+ 258 m}{3.0 s} = + 86 m / s .

Dấu cộng ( $+$ ) của cho biết tọa độ $x$ đang tăng dần theo thời gian, nghĩa là vật đang dịch chuyển theo chiều dương của trục tọa độ (sang phía bên phải).

Ngược lại, nếu một chiếc xe cứu hộ chạy lùi hoặc di chuyển ngược chiều từ vị trí $x_{1} = 277 m$ ( $t_{1} = 16.0 s$ ) về lại vị trí $x_{2} = 19 m$ ( $t_{2} = 25.0 s$ ) như ở Hình 2.2:

\begin{aligned} Δ x & = x_{2} - x_{1} = 19 m - 277 m = - 258 m, \\ Δ t & = 25.0 s - 16.0 s = 9.0 s, \\ v_{av - x} & = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{- 258 m}{9.0 s} \approx - 29 m / s . \end{aligned}

Dấu trừ ( $-$ ) chỉ ra rằng vật đang chuyển động ngược chiều dương, tức theo chiều âm của trục tọa độ.

Hình 2.2: Xe chuyển động theo chiều âm của trục tọa độ cho độ dời và vận tốc âm

Bảng 2.1 — Mối liên hệ giữa dấu của vận tốc và hướng chuyển động

Chiều chuyển động thực tế	Độ biến thiên tọa độ $Δ x$	Dấu của $v_{x}$
Chuyển động theo chiều dương ( $+ x$ )	Tăng dần ( $Δ x > 0$ )	Dương ( $v_{x} > 0$ )
Chuyển động theo chiều âm ( $- x$ )	Giảm dần ( $Δ x < 0$ )	Âm ( $v_{x} < 0$ )
Đứng yên tại một vị trí	Không đổi ( $Δ x = 0$ )	Bằng 0 ( $v_{x} = 0$ )

Dấu của vận tốc hoàn toàn phụ thuộc vào việc bạn chọn chiều dương hệ trục

Dấu dương hay âm của không phải là bản chất tự thân bất biến của chiếc xe, mà phụ thuộc hoàn toàn vào hệ quy chiếu do người quan sát thiết lập. Nếu bạn chọn chiều dương $+ x$ hướng sang bên trái, thì chiếc xe đua chạy sang phải sẽ mang vận tốc âm, còn chiếc xe cứu hộ chạy sang trái lại mang vận tốc dương! Một khi đã chọn hệ trục, bạn bắt buộc phải tuân thủ nhất quán quy ước dấu đó xuyên suốt bài toán.

Ý nghĩa hình học: Đồ thị tọa độ – thời gian ( $x - t$ )

Một phương thức trực quan và mạnh mẽ để nắm bắt chuyển động là biểu diễn vị trí $x$ dưới dạng hàm số của thời gian $t$ trên mặt phẳng tọa độ (đồ thị $x - t$ , Hình 2.3).

Cần phân biệt rõ: Đường cong trên đồ thị $x - t$ không phải là quỹ đạo hình học của chiếc xe trong không gian! Xe vẫn đang chạy trên một đường thẳng tắp; đường cong trên đồ thị chỉ mô tả quy luật biến thiên của tọa độ vị trí theo thời gian.

Hình 2.3: Ý nghĩa hình học của vận tốc trung bình — độ dốc của cát tuyến trên đồ thị x-t

Xét hai điểm $p_{1} (t_{1}, x_{1})$ và $p_{2} (t_{2}, x_{2})$ trên đường cong:

Đoạn thẳng nối $p_{1}$ và $p_{2}$ là một cát tuyến của đường cong đồ thị.
Độ dốc (slope) của cát tuyến này bằng độ tăng theo trục đứng chia cho độ tăng theo trục ngang:
$Slope of secant p_{1} p_{2} = \frac{Δ x}{Δ t} = v_{av - x} .$

Về mặt toán học: trong khoảng thời gian từ $t_{1}$ đến $t_{2}$ chính là hệ số góc (độ dốc) của đường cát tuyến nối hai điểm tương ứng trên đồ thị tọa độ – thời gian ( $x - t$ ). Đơn vị của độ dốc là mét chia giây ( $m / s$ ), hoàn toàn chuẩn xác với đơn vị của vận tốc.

chỉ phụ thuộc vào trạng thái đầu và trạng thái cuối, hoàn toàn không quan tâm đến diễn biến chi tiết ở giữa hành trình. Một chiếc mô tô có thể phóng vượt qua xe đua rồi lại phanh gấp để cùng đến $P_{2}$ tại thời điểm $t_{2}$ ; cả hai xe khi đó đều có chung một vận tốc trung bình như nhau!

Bảng 2.2 — Thang bậc độ lớn của vận tốc trong tự nhiên

Chuyển động vật lý	Tốc độ điển hình ( $m / s$ )	Ghi chú quy đổi
Ốc sên bò	$\sim 10^{- 3} m / s$	$\sim 3.6 m / h$
Người đi bộ thong thả	$1.4 m / s$	$\approx 5.0 km / h$
Vận động viên chạy nước rút $100 m$	$10 - 12 m / s$	Kỷ lục Usain Bolt $\approx 12.4 m / s$ ( $44.7 km / h$ )
Ô tô lưu thông trên cao tốc	$30 m / s$	$108 km / h$
Tốc độ âm thanh trong không khí ( $20^{\circ} C$ )	$343 m / s$	$\approx 1235 km / h$ (Mach 1)
Chuyển động nhiệt hỗn loạn của phân tử khí	$\approx 500 m / s$	Cỡ phân tử nitơ ở nhiệt độ phòng
Máy bay do thám siêu âm SR-71 Blackbird	$\approx 1000 m / s$	Mach 3+ ( $\approx 3600 km / h$ )
Trạm Vũ trụ Quốc tế (ISS) bay quanh Trái Đất	$7700 m / s$	vũ trụ cấp 1 ( $\approx 27 700 km / h$ )
Tốc độ ánh sáng trong chân không ( $c$ )	$3.00 \times 10^{8} m / s$	Giới hạn tốc độ tối thượng của vũ trụ

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết mục 2.1

Bài tập: Câu hỏi kiểm tra

Năm chiếc xe A, B, C, D, E đều thực hiện hành trình chuyển động thẳng kéo dài đúng một giờ ( $Δ t = 1.0 h$ ). Chọn chiều dương $+ x$ hướng về phía đông:

(i) Xe A đi $50 km$ về phía đông.
(ii) Xe B đi $50 km$ về phía tây.
(iii) Xe C đi $60 km$ về phía đông rồi quay đầu đi $10 km$ về phía tây.
(iv) Xe D đi $70 km$ về phía đông.
(v) Xe E đi $20 km$ về phía tây rồi quay đầu đi $20 km$ về phía đông.

(a) Hãy sắp xếp của các xe theo thứ tự từ giá trị dương lớn nhất đến giá trị âm lớn nhất.

(b) Những xe nào có cùng ?

(c) Xe nào có bằng 0?

Lời giải

Vì thời gian chuyển động của mọi xe đều bằng $Δ t = 1.0 h$ , tỷ lệ thuận trực tiếp với $Δ x$ :

Xe A: Đi theo hướng đông $⟹ Δ x_{A} = + 50 km ⟹ v_{av - x} = + 50 km / h$ .
Xe B: Đi theo hướng tây $⟹ Δ x_{B} = - 50 km ⟹ v_{av - x} = - 50 km / h$ .
Xe C: Đi $+ 60 km$ rồi $- 10 km ⟹ Δ x_{C} = 60 - 10 = + 50 km ⟹ v_{av - x} = + 50 km / h$ .
Xe D: Đi theo hướng đông $⟹ Δ x_{D} = + 70 km ⟹ v_{av - x} = + 70 km / h$ .
Xe E: Đi $- 20 km$ rồi $+ 20 km ⟹ Δ x_{E} = - 20 + 20 = 0 km ⟹ v_{av - x} = 0 km / h$ .

(a) Thứ tự sắp xếp đại số:

v_{D} (+ 70 km / h) > v_{A} = v_{C} (+ 50 km / h) > v_{E} (0 km / h) > v_{B} (- 50 km / h) .

(b) Xe A và xe C có cùng ( $+ 50 km / h$ ) dù quãng đường xe C đi ( $70 km$ ) dài hơn xe A ( $50 km$ ).

(c) Xe E có bằng 0 vì vị trí cuối trùng vị trí đầu ( tổng cộng bằng 0), mặc dù chiếc xe đã tiêu tốn nhiên liệu để đi quãng đường tổng cộng $40 km$ !

2.2. Vận tốc tức thời và mối liên hệ với đạo hàm

là một công cụ hữu ích để đánh giá bức tranh tổng thể của một hành trình, nhưng nó hoàn toàn bất lực trong việc cho ta biết: Ngay tại thời điểm này, vật đang chạy nhanh hay chậm, và đang tiến hay lùi?

Một vận động viên bơi lội giành huy chương vàng cự ly $50 m$ tự do (Hình 2.4) là người có độ lớn cao nhất trên cả chặng đua. Nhưng trong suốt $50 m$ ấy, có lúc người đó đạp chân tăng tốc mạnh mẽ sau cú xuất phát, có lúc bơi đều, và có lúc chạm đích với tốc độ khác hẳn. Để mô tả trạng thái chuyển động tại từng khoảnh khắc thời gian cá biệt, vật lý học khai sinh khái niệm vận tốc tức thời (instantaneous velocity).

Hình 2.4: Cuộc thi bơi lội trên đường bơi 50 mét

Một "thời điểm" kéo dài bao lâu?

Trong ngôn ngữ đời thường, người ta hay nói "chờ tôi một thoáng" hay "chỉ trong chớp mắt" để chỉ một khoảng thời gian rất ngắn. Trong toán học và vật lý học, một thời điểm ( $t$ ) không có bất kỳ độ kéo dài nào; nó là một nhát cắt thời gian tuyệt đối, một điểm duy nhất trên trục số thời gian.

Định nghĩa giải tích của vận tốc tức thời

Để xác định của chiếc xe đua ngay tại vị trí $P_{1}$ ( $t_{1}$ ) ở Hình 2.1, ta quan sát vị trí $P_{2}$ ( $t_{2}$ ) ở các khoảng thời gian $Δ t = t_{2} - t_{1}$ ngày càng thu hẹp lại: Từ $1 s$ xuống $0.1 s$ , $0.01 s$ , rồi $0.001 s$ .

Khi khoảng thời gian $Δ t$ co dần về $0$ , $Δ x$ cũng co dần về $0$ . Tuy nhiên, tỷ số $\frac{Δ x}{Δ t}$ giữa hai lượng vô cùng bé ấy không hề triệt tiêu, mà tiệm cận đến một giá trị hữu hạn xác định. Giới hạn toán học này chính là của tọa độ $x$ theo thời gian $t$ :

v_{x} = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{d x}{d t} .

(2.3)

Thành phần $v_{x}$ chính là tốc độ biến thiên tức thời của tọa độ vị trí theo thời gian:

Nếu $v_{x} > 0$ : Tọa độ $x$ đang tăng, vật chuyển động theo chiều dương.
Nếu $v_{x} < 0$ : Tọa độ $x$ đang giảm, vật chuyển động theo chiều âm.
Nếu $v_{x} = 0$ : Vật dừng lại tức thời tại thời điểm đó (đổi chiều chuyển động hoặc đứng yên).

Hình 2.5: Dấu của vận tốc tức thời phụ thuộc vào cách chọn chiều dương hệ trục

Phân biệt rạch ròi: Vận tốc tức thời và Tốc độ tức thời

Trong đời sống, hai từ "" và "tốc độ" thường bị dùng lẫn lộn như từ đồng nghĩa. Nhưng trong vật lý chuẩn tắc, chúng là hai khái niệm khác nhau về bản chất:

( $v_{x}$ ): Là một đại lượng vector (trong chuyển động 1D, được biểu thị bằng một số có dấu). Nó mang đầy đủ thông tin: Độ nhanh chậm VÀ chiều chuyển động.
( $v$ ): Là một đại lượng vô hướng không âm, chính là độ lớn của :
$v = | v_{x} | .$
Đồng hồ đo tốc độ (speedometer) trên bảng táp-lô ô tô chỉ hiển thị (ví dụ $80 km / h$ ); nó không hề biết bạn đang đi về phía bắc hay phía nam. Hai chiếc xe chạy ngược chiều nhau trên cùng một đoạn đường có thể có cùng tốc độ tức thời $20 m / s$ , nhưng của chúng mang dấu trái ngược: Chiếc này là $+ 20 m / s$ thì chiếc kia là $- 20 m / s$ .

Tốc độ trung bình KHÔNG PHẢI là độ lớn của vận tốc trung bình!

Đây là một cạm bẫy kinh điển:

$= d f r a c Δ x Δ t = \frac{Δ x}{Δ t}$ .
$= d f r a c s Δ t = \frac{s}{Δ t}$ .

Năm 2009, kình ngư César Cielo lập kỷ lục thế giới bơi $100.0 m$ trong $46.91 s$ . Trong bể bơi tiêu chuẩn dài $50 m$ , anh bơi đi rồi bơi về, chạm thành bể đúng tại điểm xuất phát ban đầu. tổng cộng $Δ x = 0 ⟹$ bằng đúng 0! Trong khi đó, tổng quãng đường bơi là $100 m ⟹$ là $100.0 / 46.91 \approx 2.132 m / s$ .

Ứng dụng đời sống — Súng bắn tốc độ laser (LIDAR): Cảnh sát giao thông sử dụng súng bắn tốc độ laser phát ra hàng trăm xung ánh sáng hồng ngoại cực ngắn trong khoảng thời gian chưa đầy $0.3 s$ . Bằng cách đo thời gian xung phản xạ quay về từ thân xe để tính liên tiếp các khoảng cách, bộ vi xử lý thực hiện phép tính vi phân giới hạn $Δ x / Δ t$ tức thời để bắt chính xác tốc độ của xe tại thời điểm bị bắn.

Ví dụ 2.1 — Vận tốc trung bình và tức thời

Bài tập: Bài toán

Một con báo săn cheetah đang phục kích một đàn linh dương ở một vị trí cách xe quan sát của kiểm lâm $20 m$ về phía đông (Hình 2.6). Đúng thời điểm $t = 0$ , con báo bắt đầu lao thẳng về phía đông để tấn công con linh dương cách xe $50 m$ . Trong $2.0 s$ đầu tiên của đợt bứt tốc, tọa độ của con báo thay đổi theo quy luật hàm số:

x (t) = 20 m + (5.0 m / s^{2}) t^{2} .

(a) Tính của con báo trong khoảng thời gian từ $t_{1} = 1.0 s$ đến $t_{2} = 2.0 s$ .
(b) Tính trong khoảng thời gian đó.
(c) Tìm vận tốc tức thời của con báo tại thời điểm $t_{1} = 1.0 s$ bằng cách tính vận tốc trung bình trên các khoảng thời gian $Δ t$ nhỏ dần: $0.1 s$ , $0.01 s$ và $0.001 s$ .
(d) Thiết lập biểu thức giải tích của vận tốc tức thời theo thời gian bằng , từ đó tính vận tốc tức thời tại $t = 1.0 s$ và $t = 2.0 s$ .

Hình 2.6: Phân tích chuyển động săn mồi của báo cheetah trên hệ trục tọa độ

Lời giải: Hướng dẫn giải

Nhận diện và thiết lập: Chọn trục $O x$ hướng thẳng về phía đông, gốc $O$ đặt tại vị trí xe kiểm lâm. Chiều dương hướng từ xe tới đàn linh dương. Ta dùng công thức (2.1), (2.2) và vận tốc tức thời (2.3).

Thực thi:(a) Tọa độ của báo tại hai thời điểm:

\begin{aligned} x (1.0 s) & = 20 + 5.0 (1.0)^{2} = 25.0 m, \\ x (2.0 s) & = 20 + 5.0 (2.0)^{2} = 20 + 5.0 (4.0) = 40.0 m . \end{aligned}

của báo là:

Δ x = x (2.0) - x (1.0) = 40.0 m - 25.0 m = + 15.0 m .

(b) trong khoảng $1.0 s$ đó:

v_{av - x} = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{15.0 m}{2.0 s - 1.0 s} = + 15.0 m / s .

(c) Khảo sát quá trình tiệm cận giới hạn khi $Δ t \to 0$ :

Với $Δ t = 0.1 s ⟹ t_{2} = 1.1 s$ :
$x (1.1) = 20 + 5.0 (1.1)^{2} = 26.05 m ⟹ v_{av - x} = \frac{26.05 - 25.0}{0.1} = 10.5 m / s .$
Với $Δ t = 0.01 s ⟹ t_{2} = 1.01 s$ :
$x (1.01) = 20 + 5.0 (1.01)^{2} = 25.1005 m ⟹ v_{av - x} = \frac{25.1005 - 25.0}{0.01} = 10.05 m / s .$
Với $Δ t = 0.001 s ⟹ t_{2} = 1.001 s$ :
$x (1.001) = 20 + 5.0 (1.001)^{2} = 25.010005 m ⟹ v_{av - x} = 10.005 m / s .$

Khi $Δ t$ tiến dần về $0$ , tiệm cận rõ ràng tới giá trị chính xác là $10.0 m / s$ .

(d) Lấy trực tiếp của hàm vị trí:

v_{x} (t) = \frac{d x}{d t} = \frac{d}{d t} [20 + 5.0 t^{2}] = 0 + (5.0) (2 t) = (10.0 m / s^{2}) t .

Thay số:

Tại $t = 1.0 s$ : $v_{x} (1.0) = 10.0 \times 1.0 = + 10.0 m / s$ (hoàn toàn khớp với kết quả giới hạn ở câu c).
Tại $t = 2.0 s$ : $v_{x} (2.0) = 10.0 \times 2.0 = + 20.0 m / s$ .

Đánh giá: tăng đều từ $0$ lên $10 m / s$ rồi $20 m / s$ phản ánh sức bứt tốc kinh hoàng của loài báo săn (đạt $72 km / h$ chỉ sau đúng 2 giây). Vận tốc trung bình trong cả khoảng ( $15.0 m / s$ ) nằm chính xác ở trung điểm giữa vận tốc đầu ( $10.0 m / s$ ) và vận tốc cuối ( $20.0 m / s$ ).

Ý nghĩa hình học: Vận tốc tức thời là độ dốc của tiếp tuyến trên đồ thị $x - t$

Trên đồ thị tọa độ – thời gian ( $x - t$ ), khi khoảng thời gian $Δ t$ co dần về $0$ , điểm $p_{2}$ trượt dọc theo đường cong tiến sát đến điểm $p_{1}$ (Hình 2.7a, b).

Đường cát tuyến nối $p_{1} p_{2}$ trong quá trình đó dần xoay và trở thành đường tiếp tuyến của đường cong tại điểm $p_{1}$ (Hình 2.7c).

Slope of tangent at p_{1} = {\frac{d x}{d t} |}_{t_{1}} = v_{x} (t_{1}) .

Hình 2.7: Quá trình chuyển từ độ dốc cát tuyến sang độ dốc tiếp tuyến

Nguyên lý hình học cốt lõi: tại một thời điểm bất kỳ bằng đúng độ dốc (hệ số góc) của tiếp tuyến với đồ thị $x - t$ tại thời điểm đó:

Tiếp tuyến dốc lên sang phải: Độ dốc dương $⟹ v_{x} > 0$ (vật chuyển động theo chiều dương).
Tiếp tuyến nằm ngang: Độ dốc bằng $0 ⟹ v_{x} = 0$ (vật dừng lại tức thời).
Tiếp tuyến dốc xuống sang phải: Độ dốc âm $⟹ v_{x} < 0$ (vật chuyển động theo chiều âm).
Độ dốc càng dốc (độ lớn càng lớn), vật chuyển động càng nhanh; tiếp tuyến càng là là nằm ngang, vật chuyển động càng chậm (Hình 2.8).

Hình 2.8: Tương quan giữa đồ thị x-t và chuyển động thực tế qua các thời điểm

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết mục 2.2

Bài tập: Câu hỏi kiểm tra

Hình 2.9 mô tả đồ thị vị trí theo thời gian ( $x - t$ ) của một chất điểm.

Hình 2.9: Đồ thị x-t với bốn điểm khảo sát P, Q, R, S

(a) Hãy sắp xếp $v_{x}$ tại các điểm P, Q, R, S theo thứ tự từ giá trị dương lớn nhất đến giá trị âm lớn nhất.
(b) Những điểm nào có $v_{x} > 0$ ?
(c) Những điểm nào có $v_{x} < 0$ ?
(d) Những điểm nào có $v_{x} = 0$ ?
(e) Hãy sắp xếp tại các điểm theo thứ tự từ nhanh nhất đến chậm nhất.

Lời giải

Bằng cách quan sát độ dốc tiếp tuyến tại từng điểm:

Tại P: Tiếp tuyến dốc lên sang phải $⟹ v_{x} > 0$ ( dương).
Tại Q và S: Đây là các điểm cực trị (đỉnh cong) của đồ thị, tiếp tuyến nằm ngang hoàn toàn $⟹ v_{x} = 0$ .
Tại R: Tiếp tuyến dốc xuống sang phải $⟹ v_{x} < 0$ ( âm).

(a) Thứ tự đại số của :

v_{P} > v_{Q} = v_{S} (= 0) > v_{R} .

(b) Điểm có $v_{x} > 0$ là: P.
(c) Điểm có $v_{x} < 0$ là: R.
(d) Điểm có $v_{x} = 0$ là: Q và S.

(e) là giá trị tuyệt đối của độ dốc ( $| v_{x} |$ ). Quan sát hình vẽ, tại điểm R đường cong dốc đứng nhất (độ dốc âm rất dốc) $⟹ | v_{R} |$ lớn nhất. Tiếp theo là P. Tại Q và S tốc độ triệt tiêu bằng 0. Thứ tự tốc độ:

v_{R} > v_{P} > v_{Q} = v_{S} (= 0) .

2.3. Gia tốc trung bình và gia tốc tức thời

Nếu mô tả tốc độ thay đổi của tọa độ vị trí theo thời gian, thì (acceleration) mô tả tốc độ thay đổi của chính vận tốc theo thời gian.

Trong ngôn ngữ giao tiếp hằng ngày, người ta thường dùng từ "" hay "tăng tốc" với hàm ý chuyển động nhanh dần lên, còn khi xe hãm phanh thì gọi là "giảm tốc". Nhưng trong cơ học vật lý chuẩn tắc, khái niệm gia tốc bao trùm mọi sự biến thiên của vector : Dù vật chạy nhanh lên, chạy chậm lại, hay đổi hướng chuyển động, vật thể đó đều đang có gia tốc!

Gia tốc trung bình (Average Acceleration)

Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục $O x$ . Tại thời điểm $t_{1}$ , chất điểm có $v_{1 x}$ ; tại thời điểm $t_{2}$ , vận tốc biến thiên thành $v_{2 x}$ . Độ biến thiên vận tốc là $Δ v_{x} = v_{2 x} - v_{1 x}$ trong khoảng thời gian $Δ t = t_{2} - t_{1}$ .

Thành phần trên đoạn thời gian đó được định nghĩa là:

a_{av - x} = \frac{Δ v_{x}}{Δ t} = \frac{v_{2 x} - v_{1 x}}{t_{2} - t_{1}} .

(2.4)

Nếu tính bằng mét trên giây ( $m / s$ ) và thời gian tính bằng giây ( $s$ ), đơn vị của là mét trên giây chia cho giây, tức mét trên giây bình phương ( $m / s^{2}$ ). Ý nghĩa vật lý của đơn vị này rất trực quan: Một gia tốc $2 m / s^{2}$ nghĩa là cứ sau mỗi giây trôi qua, vận tốc của vật lại tăng thêm $2 m / s$ .

Cảm nhận sinh lý học về gia tốc và vận tốc

Hệ tiền đình của cơ thể con người không thể trực tiếp cảm nhận không đổi, nhưng lại cực kỳ nhạy cảm với ! Khi bạn ngồi trên một chiếc máy bay phản lực đang bay bằng đều đặn ở tốc độ $900 km / h$ , bạn cảm thấy êm ái y như đang ngồi trong phòng khách. Nhưng khi máy bay bắt đầu gầm rú lấy đà cất cánh trên đường băng (gia tốc hướng về phía trước), lưng bạn bị ép chặt vào thành ghế; và khi máy bay phanh gấp lúc hạ cánh, dây an toàn ghì chặt ngực bạn về phía trước. Gia tốc chính là đại lượng gắn liền trực tiếp với lực quán tính tác dụng lên cơ thể.

Ví dụ 2.2 — Gia tốc trung bình

Bài tập: Bài toán

Một phi hành gia rời khoang tàu con thoi để thử nghiệm thiết bị đẩy cơ động cá nhân (MMU) trong không gian. Người ấy di chuyển trên một đường thẳng; hệ thống radar trên tàu mẹ đo thành phần $v_{x}$ của phi hành gia sau mỗi $2.0 s$ :

Thời điểm $t$ ( $s$ )	$v_{x}$ ( $m / s$ )	Thời điểm $t$ ( $s$ )	$v_{x}$ ( $m / s$ )
$1.0$	$+ 0.8$	$9.0$	$- 0.4$
$3.0$	$+ 1.2$	$11.0$	$- 1.0$
$5.0$	$+ 1.6$	$13.0$	$- 1.6$
$7.0$	$+ 1.2$	$15.0$	$- 0.8$

Hãy xác định và cho biết tốc độ của phi hành gia đang tăng hay giảm trên từng khoảng thời gian sau:
(a) Từ $1.0 s$ đến $3.0 s$ ;
(b) Từ $5.0 s$ đến $7.0 s$ ;
(c) Từ $9.0 s$ đến $11.0 s$ ;
(d) Từ $13.0 s$ đến $15.0 s$ .

Hình 2.10: Đồ thị vận tốc theo thời gian và các giá trị gia tốc trung bình tương ứng

Lời giải: Hướng dẫn giải

Nhận diện và thiết lập: Áp dụng công thức (2.4) để tính $a_{av - x} = \frac{Δ v_{x}}{Δ t}$ . Để biết phi hành gia chuyển động nhanh dần hay chậm dần, ta so sánh độ lớn của (tốc độ $v = | v_{x} |$ ).

Thực thi:(a) Trong khoảng $1.0 s \to 3.0 s$ ( $Δ t = 2.0 s$ ):

a_{av - x} = \frac{1.2 - 0.8}{3.0 - 1.0} = \frac{+ 0.4 m / s}{2.0 s} = + 0.2 m / s^{2} .

Tốc độ tăng từ $0.8 m / s$ lên $1.2 m / s$ $⟹$ nhanh dần theo chiều dương.

(b) Trong khoảng $5.0 s \to 7.0 s$ :

a_{av - x} = \frac{1.2 - 1.6}{7.0 - 5.0} = \frac{- 0.4 m / s}{2.0 s} = - 0.2 m / s^{2} .

Tốc độ giảm từ $1.6 m / s$ xuống $1.2 m / s$ $⟹$ chậm dần theo chiều dương.

(c) Trong khoảng $9.0 s \to 11.0 s$ :

a_{av - x} = \frac{- 1.0 - (- 0.4)}{11.0 - 9.0} = \frac{- 0.6 m / s}{2.0 s} = - 0.3 m / s^{2} .

Tốc độ tăng từ $0.4 m / s$ lên $1.0 m / s$ ( $| - 1.0 | > | - 0.4 |$ ) $⟹$ nhanh dần theo chiều âm!

(d) Trong khoảng $13.0 s \to 15.0 s$ :

a_{av - x} = \frac{- 0.8 - (- 1.6)}{15.0 - 13.0} = \frac{+ 0.8 m / s}{2.0 s} = + 0.4 m / s^{2} .

Tốc độ giảm từ $1.6 m / s$ xuống $0.8 m / s$ ( $| - 0.8 | < | - 1.6 |$ ) $⟹$ chậm dần theo chiều âm.

Đánh giá: Lưu ý sâu sắc ở câu (c): mang dấu âm ( $- 0.3 m / s^{2}$ ) nhưng chuyển động lại là nhanh dần! Điều này khẳng định quy tắc vàng: Khi gia tốc và cùng dấu, vật luôn chuyển động nhanh dần.

Gia tốc tức thời và Đạo hàm cấp hai của vị trí

Bằng cách cho khoảng thời gian $Δ t$ tiến dần về $0$ , tỷ số $\frac{Δ v_{x}}{Δ t}$ tiệm cận tới của theo thời gian. Ta định nghĩa thành phần :

a_{x} = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ v_{x}}{Δ t} = \frac{d v_{x}}{d t} .

(2.5)

Vì vốn là bậc nhất của tọa độ vị trí ( $v_{x} = \frac{d x}{d t}$ ), chính là đạo hàm bậc hai của tọa độ vị trí theo thời gian:

a_{x} = \frac{d}{d t} (\frac{d x}{d t}) = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} .

(2.6)

Hình 2.11: Xe đua Grand Prix chuyển động với gia tốc biến thiên trên đường thẳng

Ví dụ 2.3 — Gia tốc trung bình và tức thời

Bài tập: Bài toán

dọc theo trục $x$ của chiếc xe đua ở Hình 2.11 biến thiên theo thời gian theo phương trình:

v_{x} (t) = 60.0 m / s + (0.50 m / s^{3}) t^{2} .

(a) Tính độ biến thiên trong khoảng thời gian từ $t_{1} = 1.0 s$ đến $t_{2} = 3.0 s$ .
(b) Tính của xe trong khoảng thời gian đó.
(c) Tìm gia tốc tức thời tại $t_{1} = 1.0 s$ bằng cách khảo sát giới hạn trên các khoảng thời gian $Δ t$ nhỏ dần ( $0.1 s$ , $0.01 s$ , $0.001 s$ ).
(d) Thiết lập biểu thức giải tích của gia tốc tức thời bằng , từ đó tính $a_{x}$ tại $t = 1.0 s$ và $t = 3.0 s$ .

Lời giải: Hướng dẫn giải

Nhận diện và thiết lập: Dùng công thức (2.4) và gia tốc tức thời (2.5).

Thực thi:(a) tại hai thời điểm:

\begin{aligned} v_{1 x} & = 60.0 + 0.50 (1.0)^{2} = 60.5 m / s, \\ v_{2 x} & = 60.0 + 0.50 (3.0)^{2} = 60.0 + 0.50 (9.0) = 64.5 m / s . \end{aligned}

Độ biến thiên :

Δ v_{x} = v_{2 x} - v_{1 x} = 64.5 m / s - 60.5 m / s = + 4.0 m / s .

(b) trong khoảng thời gian $Δ t = 3.0 - 1.0 = 2.0 s$ :

a_{av - x} = \frac{Δ v_{x}}{Δ t} = \frac{4.0 m / s}{2.0 s} = + 2.0 m / s^{2} .

(c) Khảo sát tiệm cận khi $Δ t \to 0$ quanh thời điểm $t_{1} = 1.0 s$ :

Với $Δ t = 0.1 s ⟹ t_{2} = 1.1 s$ :
$v_{2 x} = 60 + 0.50 (1.1)^{2} = 60.605 m / s ⟹ a_{av - x} = \frac{60.605 - 60.5}{0.1} = 1.05 m / s^{2} .$
Với $Δ t = 0.01 s ⟹ t_{2} = 1.01 s$ :
$v_{2 x} = 60 + 0.50 (1.01)^{2} = 60.51005 m / s ⟹ a_{av - x} = \frac{60.51005 - 60.5}{0.01} = 1.005 m / s^{2} .$
Với $Δ t = 0.001 s ⟹ t_{2} = 1.001 s$ :
$a_{av - x} = \frac{Δ v_{x}}{0.001} = 1.0005 m / s^{2} .$

Khi $Δ t \to 0$ , tiệm cận tới giá trị tức thời chính xác là $1.0 m / s^{2}$ .

(d) Lấy trực tiếp của hàm :

a_{x} (t) = \frac{d v_{x}}{d t} = \frac{d}{d t} [60.0 + 0.50 t^{2}] = 0 + (0.50) (2 t) = (1.0 m / s^{3}) t .

Thay số:

Tại $t = 1.0 s$ : $a_{x} (1.0) = 1.0 \times 1.0 = + 1.0 m / s^{2}$ (trùng khớp câu c).
Tại $t = 3.0 s$ : $a_{x} (3.0) = 1.0 \times 3.0 = + 3.0 m / s^{2}$ .

Đánh giá: của chiếc xe tăng tuyến tính theo thời gian (từ $1.0 m / s^{2}$ lên $3.0 m / s^{2}$ ). Giá trị gia tốc trung bình ( $2.0 m / s^{2}$ ) nằm chính xác tại điểm giữa của khoảng thời gian khảo sát. của gia tốc theo thời gian ( $d a / d t$ ) trong kỹ thuật cơ khí được gọi là jerk (độ giật), đại lượng quyết định độ êm ái khi xe tăng tốc.

Ý nghĩa hình học: Gia tốc trên đồ thị vận tốc – thời gian ( $v - t$ )

Tương tự như mối liên hệ giữa tọa độ và :

trong khoảng $Δ t$ là hệ số góc (độ dốc) của đường cát tuyến nối hai điểm tương ứng trên đồ thị $v_{x} - t$ (Hình 2.12).
tại thời điểm $t$ là độ dốc của đường tiếp tuyến với đồ thị $v_{x} - t$ tại thời điểm đó:
$a_{x} = \frac{d v_{x}}{d t} (Slope of v_{x} - t) .$

Hình 2.12: Gia tốc tức thời là độ dốc của tiếp tuyến trên đồ thị vận tốc - thời gian

Quy tắc vàng xóa tan ngộ nhận: Dấu của tích số $v_{x} \cdot a_{x}$

Xóa tan ngộ nhận: Gia tốc âm KHÔNG ĐỒNG NGHĨA với chuyển động chậm dần!

Hàng triệu học sinh thường mang ngộ nhận: "Cứ âm là xe đang phanh chậm dần". Đây là một sai lầm bản chất! Dấu của gia tốc $a_{x}$ chỉ đơn thuần cho biết vector gia tốc đang hướng theo chiều dương hay chiều âm của trục tọa độ đã chọn.

Quy luật vật lý duy nhất quyết định một vật chuyển động nhanh dần hay chậm dần là mối tương quan dấu giữa $v_{x}$ và $a_{x}$ (tức dấu của tích số $v_{x} \cdot a_{x}$ ):

Khi $v_{x}$ và $a_{x}$ CÙNG DẤU ( $v_{x} \cdot a_{x} > 0$ ): Chuyển động NHANH DẦN!
- $v_{x} > 0$ và $a_{x} > 0$ : Vật đang tiến theo chiều dương và tăng tốc nhanh dần (Hình 2.13, điểm E).
- $v_{x} < 0$ và $a_{x} < 0$ : Vật đang chạy lùi theo chiều âm và cũng hướng theo chiều âm; ngày càng âm hơn $⟹$ tốc độ $| v_{x} |$ tăng lên $⟹$ vật đang chạy lùi nhanh dần!
Khi $v_{x}$ và $a_{x}$ TRÁI DẤU ( $v_{x} \cdot a_{x} < 0$ ): Chuyển động CHẬM DẦN!
- $v_{x} > 0$ và $a_{x} < 0$ : Vật tiến theo chiều dương nhưng bị hãm lại $⟹$ chậm dần (sắp dừng lại đổi chiều).
- $v_{x} < 0$ và $a_{x} > 0$ : Vật chạy lùi theo chiều âm nhưng hướng theo chiều dương $⟹$ bớt âm dần $⟹$ tốc độ $| v_{x} |$ giảm $⟹$ vật đang chạy lùi chậm dần (Hình 2.13, điểm A).

Bảng 2.3 — Tổng hợp tương quan dấu giữa vận tốc và gia tốc

Trạng thái $v_{x}$	Dấu $a_{x}$	Tích $v_{x} \cdot a_{x}$	Diễn biến chuyển động của chất điểm
Dương ( $v_{x} > 0$ )	Dương ( $a_{x} > 0$ )	$> 0$	Tiến theo chiều dương, nhanh dần.
Dương ( $v_{x} > 0$ )	Âm ( $a_{x} < 0$ )	$< 0$	Tiến theo chiều dương, chậm dần.
Âm ( $v_{x} < 0$ )	Dương ( $a_{x} > 0$ )	$< 0$	Tiến theo chiều âm, chậm dần.
Âm ( $v_{x} < 0$ )	Âm ( $a_{x} < 0$ )	$> 0$	Tiến theo chiều âm, nhanh dần.

Hình 2.13: Tương quan giữa đồ thị vận tốc v-t và trạng thái chuyển động tại các điểm A-E

Ứng dụng công nghệ — Cảm biến MEMS trong đời sống:

Điện thoại thông minh: Bên trong mỗi smartphone đều có một chip cảm biến vi cơ điện tử (MEMS) siêu nhỏ (cỡ micromét). Khi bạn xoay ngang điện thoại hay lắc cổ tay, tác động làm lệch các vi phiến silicon, thay đổi điện dung vi sai và ra lệnh cho hệ điều hành xoay hướng màn hình hoặc đếm từng bước chân bạn đi.
Túi khí ô tô an toàn: Khi xảy ra va chạm trực diện, xe hơi giảm tốc đột ngột với hãm cực lớn (thường vượt quá $- 20 g$ đến $- 50 g$ , với $g \approx 9.8 m / s^{2}$ ). Cảm biến gia tốc MEMS phát hiện mức gia tốc âm dị thường này trong vòng chưa đầy $15 ms$ và kích hoạt ngòi nổ hóa học tạo khí nitrogen bơm phồng túi khí trước khi người lái kịp lao về phía trước!

Gia tốc và độ cong của đồ thị vị trí – thời gian ( $x - t$ )

Vì là bậc hai $a_{x} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ , trong giải tích toán học, đạo hàm bậc hai phản ánh chiều lõm (độ cong) của đường cong đồ thị $x - t$ (Hình 2.14):

Đồ thị cong lõm lên trên (hình chiếc bát hứng nước): $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} > 0 ⟹ a_{x} > 0$ ( dương, độ dốc tiếp tuyến tăng dần từ trái sang phải).
Đồ thị cong lồi xuống dưới (hình chiếc bát úp ngược): $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} < 0 ⟹ a_{x} < 0$ ( âm, độ dốc tiếp tuyến giảm dần từ trái sang phải).
Điểm uốn (nơi đồ thị đổi chiều cong, tiếp tuyến đổi phía): $a_{x} = 0$ ( triệt tiêu).

Hình 2.14: Chiều cong của đồ thị x-t phản ánh trực tiếp dấu của gia tốc

Bảng 2.4 — Thông điệp vật lý từ hai loại đồ thị động học

Đại lượng cần khảo sát	Đọc trên đồ thị $x - t$	Đọc trên đồ thị $v_{x} - t$
Tọa độ vị trí ( $x$ )	Giá trị của tung độ trên đồ thị.	Không đọc được trực tiếp (cần dùng diện tích).
( $v_{x}$ )	Độ dốc (hệ số góc) của tiếp tuyến.	Giá trị của tung độ trên đồ thị.
( $a_{x}$ )	Chiều cong / độ lõm của đồ thị ( $d^{2} x / d t^{2}$ ).	Độ dốc (hệ số góc) của tiếp tuyến ( $d v_{x} / d t$ ).

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết mục 2.3

Bài tập: Câu hỏi kiểm tra

Quan sát lại đồ thị $x - t$ ở Hình 2.9 (gồm bốn điểm P, Q, R, S):

(a) Điểm nào có dương ( $a_{x} > 0$ )?
(b) Điểm nào có gia tốc âm ( $a_{x} < 0$ )?
(c) Những điểm nào có gia tốc xấp xỉ bằng không ( $a_{x} \approx 0$ )?
(d) Tại mỗi điểm P, Q, R, S, đang tăng, giảm hay tạm thời không đổi?

Lời giải

Dựa vào chiều cong của đồ thị $x - t$ :

(a) Điểm S có $a_{x} > 0$ : Tại lân cận điểm S, đồ thị có đáy cong hướng lõm lên trên (dạng parabol ngửa) $⟹$ bậc hai dương $⟹ a_{x} > 0$ .
(b) Điểm Q có $a_{x} < 0$ : Tại đỉnh Q, đồ thị cong úp xuống dưới (dạng parabol úp) $⟹$ bậc hai âm $⟹ a_{x} < 0$ .
(c) Điểm P và điểm R có $a_{x} \approx 0$ : Đây là các đoạn đồ thị tương đối thẳng hoặc là điểm uốn chuyển tiếp chiều cong, độ cong triệt tiêu $⟹ a_{x} \approx 0$ .
(d) Diễn biến :
- Tại P: $a_{x} \approx 0 ⟹$ không đổi.
- Tại Q: $a_{x} < 0 ⟹$ đang giảm liên tục (chuyển từ dương sang 0 rồi sang âm).
- Tại R: $a_{x} \approx 0 ⟹$ không đổi.
- Tại S: $a_{x} > 0 ⟹$ đang tăng liên tục (chuyển từ âm sang 0 rồi sang dương).

2.4. Chuyển động thẳng với gia tốc không đổi

Trường hợp chuyển động có đơn giản và quan trọng nhất trong cơ học cổ điển là chuyển động trên đường thẳng với gia tốc không đổi ( $a_{x} = const$ ), còn gọi là chuyển động thẳng biến đổi đều.

Khi là hằng số, của chất điểm biến thiên với tốc độ hoàn toàn đều đặn theo thời gian. Ta bắt gặp mô hình này ở khắp mọi nơi trong tự nhiên và kỹ thuật:

Một vật thể trong trường trọng lực gần mặt đất khi lực cản không khí không đáng kể;
Một chiếc ô tô đạp phanh gấp với lực hãm ma sát trượt không đổi;
Một máy bay chiến đấu phản lực được máy phóng hơi nước đẩy vọt đi trên boong tàu sân bay.

Hình 2.15: Vị trí, vận tốc và gia tốc của chất điểm tại các thời điểm cách đều nhau

Trên Hình 2.15, sau những khoảng thời gian bằng nhau $Δ t$ , của chất điểm tăng thêm những lượng bằng nhau $Δ v_{x} = a_{x} Δ t$ . Tuy nhiên, quãng đường đi được trong mỗi khoảng thời gian lại ngày càng dài hơn, vì vận tốc tức thời của vật ngày càng lớn!

Hệ bốn phương trình động học cốt lõi

Vì $a_{x}$ là hằng số không đổi trên toàn bộ hành trình, giá trị gia tốc trung bình trên bất kỳ khoảng thời gian nào cũng bằng chính gia tốc tức thời $a_{x}$ :

a_{x} = \frac{v_{2 x} - v_{1 x}}{t_{2} - t_{1}} .

(2.7)

Chọn thời điểm ban đầu $t_{1} = 0$ với ban đầu $v_{1 x} = v_{0 x}$ , và thời điểm khảo sát lúc sau $t_{2} = t$ với vận tốc tương ứng $v_{2 x} = v_{x}$ :

v_{x} = v_{0 x} + a_{x} t .

(2.8)

Phương trình (2.8) biểu thị quy luật tuyến tính: lúc sau bằng vận tốc ban đầu cộng với lượng biến thiên tích lũy $a_{x} t$ . Trên đồ thị vận tốc – thời gian ( $v_{x} - t$ ), phương trình này là một đường thẳng có hệ số góc bằng $a_{x}$ và tung độ gốc bằng $v_{0 x}$ (Hình 2.17).

Hình 2.16: Đồ thị gia tốc theo thời gian — diện tích hình chữ nhật là độ biến thiên vận tốc

Hình 2.17: Đồ thị vận tốc theo thời gian — diện tích hình thang là độ dời

Phương trình tọa độ vị trí theo thời gian

Để tìm vị trí $x (t)$ , ta xuất phát từ định nghĩa :

v_{av - x} = \frac{x - x_{0}}{t} .

(2.9)

Chỉ riêng trong trường hợp đặc biệt khi không đổi ( biến thiên hoàn toàn tuyến tính theo thời gian), vận tốc trung bình trong khoảng từ $0$ đến $t$ bằng đúng trung bình cộng của vận tốc đầu và vận tốc cuối:

v_{av - x} = \frac{v_{0 x} + v_{x}}{2} .

(2.10)

Thay biểu thức $v_{x} = v_{0 x} + a_{x} t$ từ (2.8) vào (2.10):

\begin{aligned} v_{av - x} & = \frac{v_{0 x} + (v_{0 x} + a_{x} t)}{2} \\ = v_{0 x} + \frac{1}{2} a_{x} t . \end{aligned}

(2.11)

Đồng nhất (2.9) với (2.11), ta rút ra phương trình tọa độ vị trí:

x = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2} .

(2.12)

Phương trình (2.12) là một hàm số bậc hai của thời gian $t$ . Trên đồ thị vị trí – thời gian ( $x - t$ ), đường biểu diễn là một nhánh parabol (Hình 2.18 và Hình 2.19):

Nếu $a_{x} > 0$ : Parabol có bề lõm quay lên trên.
Nếu $a_{x} < 0$ : Parabol có bề lõm quay xuống dưới.
Nếu $a_{x} = 0$ : Số hạng bậc hai triệt tiêu, đồ thị thoái hóa thành đường thẳng $x = x_{0} + v_{0 x} t$ (chuyển động thẳng đều).

Hình 2.18: Đồ thị tọa độ x theo thời gian là đường parabol

Hình 2.19: So sánh chuyển động thẳng đều và chuyển động có gia tốc không đổi

Ý nghĩa hình học của qua diện tích: Quan sát Hình 2.17, độ dời $Δ x = x - x_{0}$ chính bằng diện tích hình thang dưới đường đồ thị $v_{x} - t$ . Ta có thể tách hình thang thành hai phần:

Diện tích hình chữ nhật bên dưới: $v_{0 x} t$ (quãng đường đi được nếu giữ nguyên ban đầu).
Diện tích tam giác vuông bên trên: $\frac{1}{2} (t) (a_{x} t) = \frac{1}{2} a_{x} t^{2}$ (quãng đường dôi ra do làm tăng ). Tổng diện tích chính là $x - x_{0} = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}$ , hoàn toàn trùng khớp với (2.12)!

Phương trình độc lập với thời gian (Hệ thức Torricelli)

Trong vô số bài toán thực tế, đề bài cho biết quãng đường và nhưng không hề đề cập đến thời gian $t$ . Để thiết lập mối liên hệ trực tiếp không phụ thuộc thời gian, ta rút $t = \frac{v_{x} - v_{0 x}}{a_{x}}$ từ (2.8) rồi thế vào (2.12):

x - x_{0} = v_{0 x} (\frac{v_{x} - v_{0 x}}{a_{x}}) + \frac{1}{2} a_{x} {(\frac{v_{x} - v_{0 x}}{a_{x}})}^{2} .

Nhân cả hai vế với $2 a_{x}$ và khai triển hằng đẳng thức:

\begin{aligned} 2 a_{x} (x - x_{0}) & = 2 v_{0 x} v_{x} - 2 v_{0 x}^{2} + v_{x}^{2} - 2 v_{0 x} v_{x} + v_{0 x}^{2} \\ = v_{x}^{2} - v_{0 x}^{2} . \end{aligned}

Ta thu được hệ thức độc lập với thời gian kinh điển:

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} (x - x_{0}) .

(2.13)

Một hệ thức bổ trợ hữu ích khác nhận được khi ghép (2.9) và (2.10):

x - x_{0} = (\frac{v_{0 x} + v_{x}}{2}) t .

(2.14)

Bảng 2.5 — Bộ 4 phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều

Phương trình	Số hiệu	Đại lượng vắng mặt (không cần biết)
$v_{x} = v_{0 x} + a_{x} t$	(2.8)	Vắng mặt tọa độ vị trí ( $x - x_{0}$ ).
$x = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}$	(2.12)	Vắng mặt lúc sau ( $v_{x}$ ).
$v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} (x - x_{0})$	(2.13)	Vắng mặt thời gian ( $t$ ).
$x - x_{0} = \frac{1}{2} (v_{0 x} + v_{x}) t$	(2.14)	Vắng mặt ( $a_{x}$ ).

Bí quyết thực chiến chọn phương trình trong chớp mắt

Mỗi phương trình trong Bảng 2.5 chỉ chứa đúng 4 trong số 5 đại lượng động học cốt lõi: $Δ x, v_{0 x}, v_{x}, a_{x}, t$ . Khi đọc đề bài, hãy tự hỏi: Đại lượng nào đề bài KHÔNG CHO mà cũng KHÔNG YÊU CẦU TÌM?

Không cần $Δ x ⟹$ chọn ngay (2.8).
Không cần $v_{x} ⟹$ chọn ngay (2.12).
Không cần $t ⟹$ chọn ngay (2.13) (không bao giờ phải mất công giải phương trình bậc hai qua ẩn $t$ !).
Không cần $a_{x} ⟹$ chọn ngay (2.14).

Ứng dụng thực tiễn — Khoảng cách phanh ô tô và Thử nghiệm gia tốc cực hạn

Hình ứng dụng: Đại tá John Stapp trên xe trượt tên lửa chịu gia tốc cực lớn

Vật lý an toàn giao thông — Khoảng cách phanh tỷ lệ với bình phương : Khi một chiếc xe đang chạy với vận tốc ban đầu $v_{0}$ và tài xế đạp phanh khẩn cấp tạo hãm $a_{x} = - a$ (không đổi), xe dừng lại hoàn toàn khi $v_{x} = 0$ . Áp dụng hệ thức (2.13):

\begin{aligned} 0^{2} & = v_{0}^{2} + 2 (- a) d \\ ⟹ d & = \frac{v_{0}^{2}}{2 a} . \end{aligned}

Khoảng cách dừng xe $d$ tỷ lệ thuận với bình phương đầu ( $v_{0}^{2}$ )!

Nếu bạn chạy xe ở tốc độ $50 km / h$ , khoảng cách phanh mất khoảng $14 m$ .
Nếu bạn tăng tốc lên gấp đôi ( $100 km / h$ ), khoảng cách phanh không phải tăng gấp đôi mà tăng vọt lên gấp bốn lần ( $56 m$ )! Đây là minh chứng vật lý đanh thép giải thích tại sao phóng nhanh vượt ẩu lại làm giảm thảm khốc khả năng xử lý va chạm.

Giới hạn chịu đựng của con người (Đại tá John Stapp): Trong những năm 1950, bác sĩ Không quân Hoa Kỳ John Stapp đã tự mình ngồi lên chiếc xe trượt đẩy bằng động cơ tên lửa để kiểm tra giới hạn sinh lý của phi công. Chiếc xe trượt tăng tốc lên $188 m / s$ ( $678 km / h$ ) rồi bị máng nước hãm phanh dừng lại chỉ trong $1.4 s$ , tạo ra gia tốc hãm kỷ lục lên tới $440 m / s^{2}$ (gấp $45$ lần $g$ ). Thí nghiệm lịch sử này chứng minh con người có thể sống sót sau các vụ va chạm cực mạnh nếu ghế ngồi và đai an toàn được thiết kế đúng chuẩn cơ học.

Ví dụ 2.4 — Tính toán với gia tốc không đổi

Bài tập: Bài toán

Một người lái mô tô đang chuyển động thẳng về phía đông. Vừa qua khỏi biển báo giới hạn tốc độ của thị trấn, người đó bắt đầu tăng ga với cố định $4.0 m / s^{2}$ (Hình 2.20). Đúng tại thời điểm $t = 0$ , chiếc xe cách biển báo ranh giới $5.0 m$ về phía đông và đang có $15.0 m / s$ .

(a) Xác định tọa độ vị trí và của người lái xe tại thời điểm $t = 2.0 s$ .
(b) Khi tốc độ của xe đạt $25.0 m / s$ , người đó đang ở vị trí cách biển báo ranh giới bao xa?

Hình 2.20: Chuyển động tăng tốc của người lái mô tô qua biển báo ranh giới

Lời giải: Hướng dẫn giải

Nhận diện và thiết lập: Chọn trục $O x$ hướng thẳng về phía đông, gốc $O$ đặt tại vị trí biển báo ranh giới thị trấn. Chiều dương hướng về phía đông. Dữ kiện đã biết:

Vị trí ban đầu: $x_{0} = + 5.0 m$ ;
ban đầu: $v_{0 x} = + 15.0 m / s$ ;
: $a_{x} = + 4.0 m / s^{2}$ (hằng số không đổi).

Thực thi câu (a): Áp dụng trực tiếp phương trình vị trí (2.12) và phương trình (2.8) tại $t = 2.0 s$ :

\begin{aligned} x (2.0 s) & = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2} \\ = 5.0 + (15.0) (2.0) + \frac{1}{2} (4.0) (2.0)^{2} \\ = 5.0 + 30.0 + 8.0 \\ = 43.0 m . \\ v_{x} (2.0 s) & = v_{0 x} + a_{x} t \\ = 15.0 + (4.0) (2.0) \\ = 15.0 + 8.0 \\ = 23.0 m / s . \end{aligned}

Thực thi câu (b): Ở câu này, ta cần tìm vị trí $x$ khi biết $v_{x} = 25.0 m / s$ , không cần biết thời gian $t$ . Áp dụng ngay hệ thức độc lập thời gian (2.13):

\begin{aligned} v_{x}^{2} & = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} (x - x_{0}) \\ ⟹ x & = x_{0} + \frac{v_{x}^{2} - v_{0 x}^{2}}{2 a_{x}} . \end{aligned}

Thay số:

\begin{aligned} x & = 5.0 m + \frac{(25.0 m / s)^{2} - (15.0 m / s)^{2}}{2 (4.0 m / s^{2})} \\ = 5.0 + \frac{625 - 225}{8.0} \\ = 5.0 + \frac{400}{8.0} \\ = 5.0 + 50.0 \\ = 55.0 m . \end{aligned}

Đánh giá: Kiểm tra lại: Thời gian để tăng tốc từ $15 m / s$ lên $25 m / s$ là:

\begin{aligned} t & = \frac{v_{x} - v_{0 x}}{a_{x}} \\ = \frac{25 - 15}{4.0} \\ = 2.5 s . \end{aligned}

Thế $t = 2.5 s$ vào (2.12):

\begin{aligned} x & = 5.0 + 15 (2.5) + 0.5 (4.0) (2.5)^{2} \\ = 5.0 + 37.5 + 12.5 \\ = 55.0 m . \end{aligned}

Kết quả hoàn toàn trùng khớp, nhưng hệ thức (2.13) giúp ta giải quyết bài toán chỉ trong một dòng duy nhất!

Ví dụ 2.5 — Bài toán đuổi bắt giữa hai xe có gia tốc khác nhau

Bài tập: Bài toán

Một chiếc ô tô con chạy quá tốc độ với không đổi $15.0 m / s$ ( $54 km / h$ ) qua một khu vực trường học có biển giới hạn tốc độ $10.0 m / s$ ( $36 km / h$ ). Đúng lúc ô tô lướt qua biển báo, một cảnh sát giao thông đi mô tô đang dừng tại đó bắt đầu nổ máy đuổi theo với không đổi $3.0 m / s^{2}$ (Hình 2.21a).

(a) Sau bao lâu kể từ lúc xuất phát thì cảnh sát đuổi kịp chiếc ô tô?
(b) Tại thời điểm đuổi kịp, tốc độ của xe cảnh sát là bao nhiêu?
(c) Khi đó, mỗi xe đã đi được quãng đường bao xa tính từ biển báo?

Hình 2.21: Hai xe chuyển động đuổi bắt nhau và giao điểm của hai đồ thị vị trí

Lời giải: Hướng dẫn giải

Nhận diện và thiết lập: Chọn gốc tọa độ $O$ tại biển báo ranh giới trường học, chiều dương trục $O x$ hướng theo chiều chuyển động của hai xe. Thời điểm ban đầu $t = 0$ là lúc ô tô chạy ngang qua xe cảnh sát. Cả hai xe đều xuất phát từ $x_{0} = 0$ :

Ô tô chuyển động thẳng đều: $a_{O x} = 0$ , $v_{O 0 x} = 15.0 m / s$ $⟹$ Phương trình chuyển động: $x_{O} (t) = v_{O 0 x} t = 15.0 t$ .
Mô tô cảnh sát chuyển động nhanh dần đều từ trạng thái nghỉ: $v_{P 0 x} = 0$ , $a_{P x} = 3.0 m / s^{2}$ $⟹$ Phương trình chuyển động: $x_{P} (t) = \frac{1}{2} a_{P x} t^{2} = 1.5 t^{2}$ .

Thực thi câu (a): Hai xe gặp nhau (cảnh sát đuổi kịp ô tô) khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ vị trí:

\begin{aligned} x_{P} (t) & = x_{O} (t) \\ ⟺ \frac{1}{2} a_{P x} t^{2} & = v_{O 0 x} t \\ ⟺ t (\frac{1}{2} a_{P x} t - v_{O 0 x}) & = 0. \end{aligned}

Phương trình cho hai nghiệm:

$t = 0$ : Thời điểm ban đầu khi chiếc ô tô vượt qua xe cảnh sát tại vạch xuất phát.
Thời điểm cảnh sát đuổi kịp:

\begin{aligned} t & = \frac{2 v_{O 0 x}}{a_{P x}} \\ = \frac{2 (15.0 m / s)}{3.0 m / s^{2}} \\ = 10.0 s . \end{aligned}

Thực thi câu (b): của xe cảnh sát tại thời điểm $t = 10.0 s$ :

\begin{aligned} v_{P x} & = v_{P 0 x} + a_{P x} t \\ = 0 + (3.0 m / s^{2}) (10.0 s) \\ = 30.0 m / s (108 km / h) . \end{aligned}

Thực thi câu (c): Quãng đường mỗi xe đi được:

\begin{aligned} x_{O} & = (15.0 m / s) (10.0 s) \\ = 150 m, \\ x_{P} & = \frac{1}{2} (3.0 m / s^{2}) (10.0 s)^{2} \\ = 1.5 \times 100 \\ = 150 m . \end{aligned}

Đánh giá bản chất sâu sắc: Quan sát thấy: Tại thời điểm gặp nhau, của cảnh sát ( $30.0 m / s$ ) gấp đúng 2 lần vận tốc của chiếc ô tô ( $15.0 m / s$ )! Đây hoàn toàn không phải là sự trùng hợp ngẫu nhiên. Vì hai xe đi cùng một quãng đường trong cùng một khoảng thời gian, nên vận tốc trung bình của chúng phải bằng nhau:

của ô tô chạy đều là $v_{O}$ .
của cảnh sát xuất phát từ nghỉ là $\frac{0 + v_{P}}{2} = \frac{v_{P}}{2}$ . Đồng nhất hai vận tốc trung bình: $\frac{v_{P}}{2} = v_{O} ⟹ v_{P} = 2 v_{O}$ . Quy luật này luôn đúng cho mọi giá trị trong mô hình đuổi bắt từ trạng thái nghỉ!

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết mục 2.4

Bài tập: Câu hỏi kiểm tra

Trong bốn đồ thị – thời gian ( $v_{x} - t$ ) ở hình dưới đây, đồ thị nào mô tả chính xác nhất diễn biến chuyển động của người lái xe ô tô và viên cảnh sát trong Ví dụ 2.5?

Hình câu hỏi: Các phương án đồ thị vận tốc theo thời gian

Lời giải

Đáp án đúng là (b).

Phân tích bản chất:

Chiếc ô tô chạy với không đổi $15 m / s$ , do đó đồ thị vận tốc của nó phải là một đường thẳng nằm ngang.
Mô tô cảnh sát tăng tốc với không đổi $a_{P x} = 3.0 m / s^{2}$ từ trạng thái nghỉ ( $v_{0} = 0$ ), do đó đồ thị của nó là một đường thẳng dốc lên xuất phát từ gốc tọa độ.
Tại thời điểm $t = 10 s$ khi hai xe gặp nhau, diện tích hình thang dưới hai đồ thị bằng nhau (cùng bằng quãng đường $150 m$ ), và tung độ của cảnh sát ( $30 m / s$ ) cao gấp đôi tung độ của ô tô ( $15 m / s$ ). Đồ thị (b) thể hiện chính xác tuyệt đối các tính chất này.

2.5. Chuyển động rơi tự do

Trường hợp chuyển động có gần như không đổi quen thuộc và quan trọng bậc nhất trong đời sống chính là sự rơi của các vật thể dưới tác dụng của lực hấp dẫn Trái Đất. Hiện tượng này từng làm trăn trở những khối óc vĩ đại nhất từ thời cổ đại cho đến buổi bình minh của vật lý học thực nghiệm hiện đại.

Vào thế kỷ IV trước Công nguyên, triết gia Aristotle cho rằng các vật nặng vốn dĩ rơi nhanh hơn các vật nhẹ, và tốc độ rơi tỷ lệ thuận với trọng lượng của vật. Quan niệm mang tính trực quan cảm tính này đã thống trị tư duy nhân loại suốt gần hai thiên niên kỷ, dẫu cho nó hoàn toàn sai lầm. Mãi đến cuối thế kỷ XVI, Galileo Galilei mới đập tan ngộ nhận đó bằng tư duy thực nghiệm sắc bén. Ông khẳng định: Nếu triệt tiêu được sức cản của môi trường, mọi vật tại cùng một vị trí địa lý đều rơi với cùng một không đổi hướng thẳng đứng xuống dưới, bất kể kích thước, hình dáng hay khối lượng của chúng nặng nhẹ ra sao.

Trong thực tế, khi một tờ giấy và một hòn sỏi cùng được thả rơi trong không khí, hòn sỏi chạm đất trước chỉ vì tờ giấy chịu lực cản không khí quá lớn so với trọng lượng của nó. Nếu ta vò chặt tờ giấy thành một viên bi nhỏ để giảm thiểu tiết diện cản, nó sẽ rơi gần như chạm đất đồng thời với hòn sỏi. Đỉnh cao của sự chứng minh thực nghiệm này là thí nghiệm trứ danh của nhà du hành vũ trụ David Scott trên Mặt Trăng trong sứ mệnh Apollo 15 (năm 1971): Trong môi trường chân không tuyệt đối của Mặt Trăng, chiếc lông chim ưng và chiếc búa địa chất khi được thả cùng lúc đã chạm bề mặt Mặt Trăng hoàn toàn đồng thời.

Chuyển động lý tưởng hóa khi một vật chỉ chịu tác dụng duy nhất của trọng lực (hoàn toàn bỏ qua sức cản của không khí) được gọi là chuyển động . Cần đặc biệt lưu ý: Trong thuật ngữ vật lý, khái niệm "rơi tự do" không chỉ áp dụng cho vật được thả từ trên cao xuống, mà bao quát mọi chuyển động dưới tác dụng của trọng lực — kể cả khi vật được ném thẳng đứng lên cao hoặc ném xiên (sẽ nghiên cứu ở Chương 3). Một khi vật đã rời khỏi tay người ném hoặc bệ phóng, dù đang bay lên hay lao xuống, nó đều là một vật rơi tự do.

Hình 2.22 ghi lại hình ảnh của một quả bóng thông qua kỹ thuật chụp ảnh hoạt nghiệm (stroboscopic photography) với đèn chớp phát sáng ở những khoảng thời gian bằng nhau chằn chặn.

Hình 2.22: Ảnh chụp hoạt nghiệm chớp sáng của quả bóng rơi tự do

Hình 2.22: Quả bóng được thả rơi từ trạng thái nghỉ tại vị trí trên cùng. Đèn chớp phát sáng định kỳ sau mỗi khoảng thời gian bằng nhau $Δ t$ . Khoảng cách giữa các ảnh bóng chụp liên tiếp tăng dần một cách có quy luật, chứng tỏ quả bóng chuyển động nhanh dần đều và có hướng thẳng đứng xuống dưới.

Các phép đo đạc chính xác xác nhận rằng của quả bóng tăng thêm những lượng bằng nhau sau mỗi khoảng thời gian bằng nhau. Nói cách khác, của nó là một hằng số.

không đổi của một vật được gọi là gia tốc trọng trường, ký hiệu độ lớn là $g$ . Tại các vị trí gần mặt đất, trong tính toán học thuật và kỹ thuật người ta thường sử dụng giá trị chuẩn:

\begin{aligned} g & \approx 9.80 m / s^{2} \\ = 980 cm / s^{2} \\ \approx 32.2 ft / s^{2} . \end{aligned}

Cần lưu ý rằng giá trị thực tế của $g$ phụ thuộc nhẹ vào vĩ độ địa lý và độ cao so với mực nước biển (do Trái Đất hơi dẹt ở hai cực và lực quán tính ly tâm của chuyển động tự quay). Ở xích đạo $g \approx 9.78 m / s^{2}$ , trong khi ở hai cực $g \approx 9.83 m / s^{2}$ . Tại Hà Nội, xấp xỉ $9.787 m / s^{2}$ . Khi không đòi hỏi độ chính xác cao hơn hai chữ số có nghĩa, ta lấy gọn $g = 9.8 m / s^{2}$ (hoặc tính nhẩm nhanh với $g \approx 10 m / s^{2}$ ). Trên bề mặt Mặt Trăng, do khối lượng Mặt Trăng nhỏ hơn nhiều, $g_{Moon} \approx 1.6 m / s^{2}$ (khoảng $1 / 6$ Trái Đất). Trên bề mặt Mặt Trời, trường hấp dẫn khổng lồ tạo nên $g_{Sun} \approx 270 m / s^{2}$ .

Gia tốc trọng trường g luôn là một đại lượng dương

Theo định nghĩa vật lý, ký hiệu $g$ đại diện cho độ lớn của , do đó nó luôn là một số dương ( $g > 0$ ). Khi giải toán, dấu của thành phần gia tốc hoàn toàn phụ thuộc vào việc bạn chọn chiều dương của hệ tọa độ:

Nếu chọn trục $O y$ hướng thẳng đứng lên trên (quy ước phổ biến nhất), luôn hướng xuống nên thành phần gia tốc là $a_{y} = - g = - 9.80 m / s^{2}$ .
Nếu chọn trục $O y$ hướng thẳng đứng chúc xuống dưới, thành phần là $a_{y} = + g = + 9.80 m / s^{2}$ . Tuyệt đối không nhầm lẫn giữa độ lớn $g$ và thành phần đại số $a_{y}$ .

Đừng nhầm lẫn giữa vận tốc và gia tốc khi rơi

Một ngộ nhận kinh điển của người mới học là cho rằng "tại điểm cao nhất của quỹ đạo khi ném vật lên, bằng 0 vì vật đứng yên". Đây là sai lầm chết người. Tại đỉnh quỹ đạo, quả thực triệt tiêu ( $v_{y} = 0$ ), nhưng gia tốc vẫn giữ nguyên giá trị $a_{y} = - g$ . Nếu gia tốc tại đỉnh cũng bằng 0, theo định luật quán tính, vật sẽ lơ lửng trên không trung mãi mãi! Chính vì gia tốc vẫn hướng xuống nên vận tốc mới liên tục giảm, đổi dấu từ dương sang âm và kéo vật rơi trở lại mặt đất.

Một ứng dụng đo đạc thú vị: Thước đo thời gian phản xạ sinh học

Bạn có thể tự đo thời gian phản xạ của não bộ mình hoặc bạn bè chỉ bằng một chiếc thước kẻ thông thường dựa trên chuyển động . Nhờ một người bạn cầm đầu trên của chiếc thước dài $30 cm$ theo phương thẳng đứng. Bạn đặt ngón cái và ngón trỏ mở sẵn ở vạch số 0 (đầu dưới của thước) nhưng không chạm vào thước. Khi người bạn bất ngờ buông tay (không báo trước), bạn lập tức kẹp chặt ngón tay lại để giữ thước.

Nếu điểm bạn kẹp được cách vạch số 0 một khoảng rơi $d$ , vì thước từ trạng thái nghỉ ( $v_{0} = 0$ ), ta có $d = \frac{1}{2} g t^{2}$ . Từ đó, thời gian phản xạ thần kinh của bạn được tính ngay bằng:

t_{react} = \sqrt{\frac{2 d}{g}} .

Nếu bạn kẹp được ở vạch $d = 10 cm = 0.10 m$ , thời gian phản xạ của bạn xấp xỉ $\sqrt{2 \times 0.10 / 9.8} \approx 0.14 s$ — một phản xạ vô cùng xuất sắc của một vận động viên! Nếu khoảng rơi là $20 cm$ , thời gian là khoảng $0.20 s$ (mức trung bình của người bình thường).

Ví dụ 2.6 — Đồng xu rơi tự do từ tháp nghiêng Pisa

Bài tập: Bài toán

Một du khách thả một đồng xu 1 euro từ tầng trên cùng của tháp nghiêng Pisa, đồng xu từ trạng thái nghỉ. Hãy xác định vị trí và của đồng xu sau các khoảng thời gian $t_{1} = 1.0 s$ , $t_{2} = 2.0 s$ và $t_{3} = 3.0 s$ . Bỏ qua sức cản của không khí.

Hình 2.23: Sơ đồ tọa độ và các trạng thái chuyển động của đồng xu rơi tự do

Hình 2.23: Chọn gốc tọa độ $O$ tại vị trí thả, trục $O y$ hướng thẳng đứng lên trên. Tại thời điểm ban đầu $t_{0} = 0$ , ta có tọa độ ban đầu $y_{0} = 0$ và đầu $v_{0 y} = 0$ . Vận tốc tại các thời điểm $1.0 s, 2.0 s, 3.0 s$ đều hướng xuống dưới; vector luôn hướng xuống với giá trị đại số $a_{y} = - g = - 9.80 m / s^{2}$ trong suốt quá trình rơi.

Lời giải

Nhận diện bài toán và Thiết lập mô hình: Đồng xu chuyển động với gia tốc trọng trường không đổi, do đó ta áp dụng bộ phương trình động học một chiều của mục 2.4 với chuyển động dọc theo trục thẳng đứng $O y$ .

Chọn trục tọa độ $O y$ thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên.
Gốc tọa độ $y_{0} = 0$ tại điểm thả.
Gốc thời gian $t_{0} = 0$ là lúc buông tay, đầu $v_{0 y} = 0$ .
Thành phần : $a_{y} = - g = - 9.80 m / s^{2}$ .

Các phương trình chuyển động của đồng xu là:

\begin{aligned} y & = y_{0} + v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} \\ = - \frac{1}{2} g t^{2} \\ = - (4.9 m / s^{2}) t^{2}, \\ v_{y} & = v_{0 y} + a_{y} t \\ = - g t \\ = - (9.8 m / s^{2}) t . \end{aligned}

Tính toán cụ thể:

Tại $t_{1} = 1.0 s$ :

\begin{aligned} y_{1} & = - (4.9 m / s^{2}) (1.0 s)^{2} \\ = - 4.9 m, \\ v_{1 y} & = - (9.8 m / s^{2}) (1.0 s) \\ = - 9.8 m / s . \end{aligned}

Đồng xu ở dưới vị trí thả $4.9 m$ và đang lao xuống với tốc độ $9.8 m / s$ .

Tại $t_{2} = 2.0 s$ :

\begin{aligned} y_{2} & = - (4.9 m / s^{2}) (2.0 s)^{2} \\ \approx - 20 m, \\ v_{2 y} & = - (9.8 m / s^{2}) (2.0 s) \\ \approx - 20 m / s . \end{aligned}

Sau khoảng thời gian gấp đôi, quãng đường rơi đã tăng gấp 4 lần ( $2^{2} = 4$ ).

Tại $t_{3} = 3.0 s$ :

\begin{aligned} y_{3} & = - (4.9 m / s^{2}) (3.0 s)^{2} \\ \approx - 44 m, \\ v_{3 y} & = - (9.8 m / s^{2}) (3.0 s) \\ \approx - 29 m / s . \end{aligned}

Nhận xét và Đánh giá: Cả vị trí $y$ và $v_{y}$ đều mang dấu âm, hoàn toàn phù hợp với thực tế vật đang ở bên dưới điểm xuất phát và chuyển động ngược chiều dương đã chọn. Một kinh nghiệm hữu ích: Nếu ta chọn chiều dương hướng xuống dưới, thì $a_{y} = + g$ , khi đó tọa độ và vận tốc đều mang giá trị dương, thuận tiện hơn khi ta chỉ quan tâm đến độ lớn của quãng đường rơi.

Ví dụ 2.7 — Chuyển động hai giai đoạn: Đi lên và rơi xuống

Bài tập: Bài toán

Từ lan can sân thượng của một tòa nhà cao tầng, bạn ném một quả bóng tennis thẳng đứng lên không trung với đầu $15.0 m / s$ . Bóng bay lên, đạt độ cao cực đại rồi rơi xuống tự do, vừa sượt qua mép lan can để rơi tiếp xuống mặt đất. Bỏ qua sức cản không khí. Hãy xác định: (a) Vị trí và vận tốc của bóng tại các thời điểm $t = 1.00 s$ và $t = 4.00 s$ . (b) Vận tốc của bóng khi nó ở độ cao $5.00 m$ phía trên lan can. (c) Độ cao cực đại mà bóng đạt được so với điểm ném. (d) của bóng khi nó lên tới điểm cao nhất.

Hình 2.24: Quỹ đạo và các vị trí đặc trưng của quả bóng ném thẳng đứng

Hình 2.24: Quả bóng chuyển động hoàn toàn trên cùng một đường thẳng đứng. Trong hình, nhánh đi lên và nhánh rơi xuống được vẽ tách rời thành hình chữ U hẹp chỉ nhằm mục đích minh họa trực quan rõ ràng các thời điểm khác nhau.

Lời giải

Nhận diện và Thiết lập hệ quy chiếu: Toàn bộ hành trình bay lên và rơi xuống đều là chuyển động dưới tác dụng của trọng lực với không đổi $a_{y} = - g = - 9.80 m / s^{2}$ . Ta không cần phải chia nhỏ bài toán thành hai giai đoạn "bay lên" và "rơi xuống" riêng biệt; một hệ phương trình duy nhất sẽ mô tả trọn vẹn toàn bộ quá trình!

Gốc tọa độ $O$ tại điểm rời tay ngang tầm lan can: $y_{0} = 0$ .
Trục $O y$ hướng thẳng đứng lên trên.
đầu: $v_{0 y} = + 15.0 m / s$ (dấu dương vì ném lên).
: $a_{y} = - g = - 9.80 m / s^{2}$ .

Phương trình tọa độ và theo thời gian:

\begin{aligned} y & = (15.0 m / s) t - \frac{1}{2} (9.80 m / s^{2}) t^{2} \\ = (15.0 m / s) t - (4.90 m / s^{2}) t^{2}, \\ v_{y} & = 15.0 m / s - (9.80 m / s^{2}) t . \end{aligned}

Triển khai tính toán:

(a) Tại các thời điểm $t = 1.00 s$ và $t = 4.00 s$ :

Tại $t = 1.00 s$ :

\begin{aligned} y & = (15.0 m / s) (1.00 s) - (4.90 m / s^{2}) (1.00 s)^{2} \\ = + 10.1 m, \\ v_{y} & = 15.0 m / s - (9.80 m / s^{2}) (1.00 s) \\ = + 5.20 m / s . \end{aligned}

Tọa độ $y > 0$ và $v_{y} > 0$ : Quả bóng đang ở vị trí cao hơn lan can $10.1 m$ và vẫn đang tiếp tục bay lên, nhưng tốc độ đã giảm đi đáng kể so với lúc ném.

Tại $t = 4.00 s$ :

\begin{aligned} y & = (15.0 m / s) (4.00 s) - (4.90 m / s^{2}) (4.00 s)^{2} \\ = 60.0 - 78.4 \\ = - 18.4 m, \\ v_{y} & = 15.0 m / s - (9.80 m / s^{2}) (4.00 s) \\ = 15.0 - 39.2 \\ = - 24.2 m / s . \end{aligned}

Tọa độ $y < 0$ và $v_{y} < 0$ : Bóng đã vượt qua đỉnh cao nhất, rơi qua mép lan can và hiện đang ở dưới mức lan can $18.4 m$ , lao thẳng xuống dưới với tốc độ $24.2 m / s$ .

(b) khi bóng ở độ cao $y = + 5.00 m$ phía trên lan can: Vì câu hỏi không đề cập đến thời gian, cách tiếp cận tối ưu là sử dụng hệ thức độc lập thời gian Torricelli:

\begin{aligned} v_{y}^{2} & = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} (y - y_{0}) \\ = (15.0 m / s)^{2} - 2 (9.80 m / s^{2}) (5.00 m) \\ = 225 - 98.0 \\ = 127 m^{2} / s^{2} . \end{aligned}

Lấy căn bậc hai, ta thu được hai nghiệm đối xứng:

\begin{aligned} v_{y} & = \pm \sqrt{127 m^{2} / s^{2}} \\ \approx \pm 11.3 m / s . \end{aligned}

Dấu cộng tương ứng với lúc bóng đang bay lên qua vị trí $5.00 m$ , và dấu trừ tương ứng với lúc bóng rơi trở lại qua vị trí đó. Tốc độ của bóng ở cả hai lượt đều bằng nhau ( $11.3 m / s$ ). Tính đối xứng này là một đặc trưng cơ bản của khi không có lực cản môi trường.

(c) Độ cao cực đại mà bóng đạt được: Tại đỉnh quỹ đạo, quả bóng đổi chiều chuyển động nên bằng 0: $v_{y} = 0$ . Áp dụng hệ thức Torricelli:

\begin{aligned} 0 & = v_{0 y}^{2} - 2 g y_{max} \\ ⟹ y_{max} & = \frac{v_{0 y}^{2}}{2 g} \\ = \frac{(15.0 m / s)^{2}}{2 (9.80 m / s^{2})} \\ = \frac{225}{19.6} \\ \approx + 11.5 m . \end{aligned}

Thời gian để vật lên tới độ cao cực đại là:

\begin{aligned} t_{peak} & = \frac{v_{0 y}}{g} \\ = \frac{15.0 m / s}{9.80 m / s^{2}} \\ \approx 1.53 s . \end{aligned}

(d) tại đỉnh cao nhất: Như đã phân tích ở phần lý thuyết, tại điểm cao nhất khi $v_{y} = 0$ , gia tốc của quả bóng vẫn không đổi:

a_{y} = - g = - 9.80 m / s^{2} .

Trọng lực không hề biến mất tại đỉnh quỹ đạo, và tốc độ biến thiên của vẫn liên tục giữ nguyên $9.80 m / s^{2}$ hướng xuống.

Hình 2.25: Đồ thị vị trí và vận tốc của quả bóng theo thời gian

Hình 2.25: Phân tích đồ thị chuyển động của quả bóng:

Đồ thị tọa độ $y (t)$ là một đường parabol có bề lõm quay xuống dưới (do hệ số của $t^{2}$ là âm, $a_{y} < 0$ ). Đỉnh parabol đạt tại $t = 1.53 s$ với tung độ cực đại $y_{max} = + 11.5 m$ , tại đó tiếp tuyến nằm ngang ( $v_{y} = d y / d t = 0$ ).
Đồ thị $v_{y} (t)$ là một đường thẳng dốc xuống có hệ số góc cố định $- g = - 9.80 m / s^{2}$ . Đường thẳng này cắt trục hoành tại $t = 1.53 s$ (đổi dấu từ dương sang âm).

Ví dụ 2.8 — Giải thích ý nghĩa vật lý của các nghiệm trong phương trình bậc hai

Bài tập: Bài toán

Sau khi ném quả bóng ở Ví dụ 2.7, sau bao lâu bóng sẽ rơi xuống vị trí thấp hơn lan can $5.00 m$ ?

Lời giải

Nhận diện và Thiết lập: Vị trí thấp hơn lan can $5.00 m$ ứng với tọa độ $y = - 5.00 m$ . Phương trình vị trí của quả bóng là:

y = y_{0} + v_{0 y} t - \frac{1}{2} g t^{2} .

Thay các giá trị số vào:

- 5.00 m = 0 + (15.0 m / s) t - (4.90 m / s^{2}) t^{2} .

Chuyển vế để đưa về dạng phương trình bậc hai chính tắc $A t^{2} + B t + C = 0$ :

(4.90 m / s^{2}) t^{2} - (15.0 m / s) t - 5.00 m = 0.

Giải phương trình: Áp dụng công thức nghiệm tổng quát $t = \frac{- B \pm \sqrt{B^{2} - 4 A C}}{2 A}$ :

\begin{aligned} t & = \frac{15.0 \pm \sqrt{(- 15.0)^{2} - 4 (4.90) (- 5.00)}}{2 (4.90)} \\ = \frac{15.0 \pm \sqrt{225 + 98.0}}{9.80} \\ = \frac{15.0 \pm \sqrt{323}}{9.80} \\ \approx \frac{15.0 \pm 17.97}{9.80} . \end{aligned}

Phương trình cho hai nghiệm toán học:

\begin{aligned} t_{1} & \approx + 3.36 s and t_{2} \\ \approx - 0.30 s . \end{aligned}

Đánh giá bản chất vật lý của các nghiệm: Toán học không biết đến thời điểm bắt đầu ném bóng ( $t = 0$ ), nó giải phương trình với giả định chuyển động parabol này đã tồn tại vĩnh viễn từ quá khứ vô tận.

Nghiệm $t_{1} = + 3.36 s > 0$ là nghiệm vật lý có thực: Sau khi rời tay được $3.36 s$ , quả bóng đã bay lên tới đỉnh rồi rơi xuống qua mép lan can đến độ sâu $5.00 m$ .
Nghiệm $t_{2} = - 0.30 s < 0$ chỉ ra một thời điểm hư cấu trong quá khứ: Nếu như trước thời điểm ném ( $t < 0$ ), quả bóng đã từng là một vật được phóng lên từ độ sâu $- 5.00 m$ dưới lan can thì nó sẽ bay qua mép lan can đúng vào thời điểm $t = 0$ với $+ 15.0 m / s$ . Nhưng trong thực tế, quả bóng nằm yên trong tay người ném trước $t = 0$ , nên nghiệm âm này bị loại bỏ.

Một câu hỏi tư duy mở rộng: Nếu đề bài hỏi thời điểm bóng ở độ cao $+ 5.00 m$ phía trên lan can, ta giải phương trình với $y = + 5.00 m$ và thu được hai nghiệm dương: $t = + 0.38 s$ (lượt bay lên) và $t = + 2.68 s$ (lượt rơi xuống). Cả hai đều có ý nghĩa thực tế! Nhưng nếu hỏi thời điểm bóng đạt độ cao $+ 15.0 m$ , phương trình sẽ có biệt thức $Δ < 0$ (nghiệm phức), báo hiệu rằng quả bóng không bao giờ vươn tới độ cao đó vì độ cao cực đại chỉ là $+ 11.5 m$ .

Câu hỏi kiểm tra hiểu bài

Bài tập: Câu hỏi kiểm tra

Một quả bóng được ném thẳng đứng lên cao từ mặt đất với tốc độ ban đầu $v_{0}$ . Bóng bay lên, đạt độ cao cực đại $h$ sau thời gian $t$ . (a) Nếu ta tăng tốc độ ban đầu lên gấp đôi ( $2 v_{0}$ ), độ cao cực đại mới mà bóng đạt được sẽ là bao nhiêu? (i) $h \sqrt{2}$ ; (ii) $2 h$ ; (iii) $4 h$ ; (iv) $8 h$ ; (v) $16 h$ .

(b) Với tốc độ ban đầu tăng gấp đôi đó, thời gian để bóng lên tới đỉnh cao nhất sẽ thay đổi thế nào? (i) $t / 2$ ; (ii) $t / \sqrt{2}$ ; (iii) $t$ ; (iv) $t \sqrt{2}$ ; (v) $2 t$ .

Lời giải & Phân tích

(a) Chọn (iii): $4 h$ . Tại độ cao cực đại, triệt tiêu ( $v = 0$ ). Từ hệ thức Torricelli $0 - v_{0}^{2} = - 2 g h$ , ta có độ cao cực đại tỷ lệ với bình phương vận tốc đầu:

h = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} .

Do đó, khi nhân đôi ban đầu ( $v_{0} \to 2 v_{0}$ ), độ cao cực đại sẽ tăng gấp $2^{2} = 4$ lần, tức là đạt $4 h$ .

(b) Chọn (v): $2 t$ . Tại đỉnh cao nhất, $v = v_{0} - g t = 0$ , suy ra thời gian bay lên tới đỉnh tỷ lệ bậc nhất với ban đầu:

t = \frac{v_{0}}{g} .

Do đó, khi đầu tăng gấp đôi, thời gian bay lên đỉnh cũng tăng đúng 2 lần, tức là $2 t$ .

2.6. Xác định vận tốc và vị trí bằng phương pháp tích phân

Trong mục 2.4, chúng ta đã xây dựng bộ công thức động học cho trường hợp không đổi. Tuy nhiên, trong thế giới thực, gia tốc cố định chỉ là trường hợp lý tưởng hóa đặc biệt. Phần lớn các chuyển động trong kỹ thuật và tự nhiên đều có gia tốc biến thiên liên tục theo thời gian:

Khi một người lái xe đạp lút ga từ trạng thái đứng yên, lực cản của không khí và ma sát lăn tăng dần theo tốc độ khiến của xe giảm dần (Hình 2.26). Một chiếc xe thông thường có thể chỉ mất $4 s$ để tăng tốc từ $0$ lên $50 km / h$ , nhưng phải mất tới $8 s$ hoặc hơn để tăng tiếp từ $50$ lên $100 km / h$ .
Khi một tên lửa rời bệ phóng, khối lượng của nó giảm liên tục do tiêu thụ hàng tấn nhiên liệu mỗi giây, đồng thời lực cản khí quyển giảm dần khi lên cao, khiến của tên lửa tăng vọt theo thời gian.

Trong những tình huống như vậy, toàn bộ các phương trình đại số của chuyển động biến đổi đều hoàn toàn mất hiệu lực. Lúc này, công cụ vi của Newton và Leibniz chính là chìa khóa duy nhất để giải mã quy luật chuyển động.

Hình 2.26: Sự phụ thuộc của gia tốc vào tốc độ khi tăng ga ô tô

Hình 2.26: Đạp hết bàn đạp ga không hề tạo ra một không đổi. Tốc độ càng cao, lực cản không khí càng lớn và hiệu suất truyền lực của động cơ thay đổi, khiến gia tốc của xe suy giảm dần theo thời gian.

Nếu như phép tính cho phép ta đi từ vị trí sang ( $v_{x} = d x / d t$ ) và từ vận tốc sang ( $a_{x} = d v_{x} / d t$ ), thì phép tính chính là quá trình đảo ngược: Giúp ta khôi phục lại quy luật vận tốc và vị trí khi đã biết hàm số của gia tốc theo thời gian $a_{x} (t)$ .

Một đỉnh cao công nghệ: Hệ thống dẫn đường quán tính (INS)

Một trong những ứng dụng kỳ diệu nhất của động học trong thế giới hiện đại là Hệ thống dẫn đường quán tính (Inertial Navigation System — INS) trang bị trên máy bay thương mại đường dài (Hình 2.27), tàu ngầm hạt nhân lặn sâu dưới đáy đại dương và tên lửa hành trình.

Hình 2.27: Hệ thống dẫn đường quán tính (INS) trên máy bay đường dài

Hình 2.27: Máy bay thương mại xuyên lục địa sử dụng hệ thống dẫn đường quán tính (INS). Dựa vào các cảm biến kế (accelerometer) siêu nhạy, máy tính trên khoang thực hiện liên tục theo thời gian để xác định chính xác và tọa độ của máy bay mà không phụ thuộc vào tín hiệu GPS bên ngoài.

Tàu ngầm quân sự khi lặn sâu hàng trăm mét dưới lớp băng Bắc Cực hoàn toàn bị cô lập khỏi sóng vô tuyến và tín hiệu vệ tinh GPS. Làm sao thủy thủ đoàn biết được vị trí của con tàu với sai số chỉ vài mét sau hàng ngàn hải lý hành trình? Câu trả lời là: Trước khi lặn, người ta nạp tọa độ xuất phát ( $x_{0}$ ) và ban đầu ( $v_{0}$ ) vào máy tính. Trong suốt hải trình, các cảm biến kế cực nhạy liên tục đo gia tốc $a (t)$ . Máy tính thực hiện lần thứ nhất để tìm vận tốc $v (t)$ , rồi thực hiện tiếp tích phân lần thứ hai để tìm vị trí $x (t)$ theo thời gian thực!

Độ biến thiên vận tốc là tích phân của gia tốc

Xét một chuyển động có $a_{x} (t)$ biến thiên liên tục theo thời gian như đồ thị ở Hình 2.28. Ta chia khoảng thời gian khảo sát từ $t_{1}$ đến $t_{2}$ thành vô số khoảng thời gian vi phân rất nhỏ $d t$ .

Hình 2.28: Biểu diễn hình học của độ biến thiên vận tốc dưới dạng diện tích tích phân

Hình 2.28: Đồ thị theo thời gian $a_{x} - t$ . Mỗi dải chữ nhật hẹp có bề rộng $d t$ và chiều cao $a_{x}$ có diện tích bằng $a_{x} d t = d v_{x}$ , biểu diễn độ biến thiên vi phân của . Tổng diện tích của tất cả các dải từ $t_{1}$ đến $t_{2}$ chính là xác định, đại diện cho độ biến thiên tổng cộng của vận tốc $Δ v_{x}$ .

Trong mỗi khoảng vi phân $d t$ , xem như không đổi, độ biến thiên tương ứng là:

d v_{x} = a_{x} d t .

Lấy hai vế từ thời điểm $t_{1}$ (ứng với $v_{1 x}$ ) đến thời điểm $t_{2}$ (ứng với vận tốc $v_{2 x}$ ):

\begin{aligned} v_{2 x} - v_{1 x} & = \int_{v_{1 x}}^{v_{2 x}} d v_{x} \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} a_{x} d t . \end{aligned}

(2.15)

Ý nghĩa hình học trực quan của công thức (2.15) là: Độ biến thiên $Δ v_{x} = v_{2 x} - v_{1 x}$ giữa hai thời điểm đúng bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong $a_{x} (t)$ và trục hoành thời gian từ $t_{1}$ đến $t_{2}$ (với phần diện tích nằm phía trên trục hoành mang dấu dương, phần nằm phía dưới mang dấu âm).

Độ dời là tích phân của vận tốc

Hoàn toàn tương tự, xuất phát từ định nghĩa $v_{x} = d x / d t$ , ta có vi phân của trong khoảng thời gian $d t$ là $d x = v_{x} d t$ .

hai vế từ thời điểm $t_{1}$ (tọa độ $x_{1}$ ) đến thời điểm $t_{2}$ (tọa độ $x_{2}$ ):

\begin{aligned} x_{2} - x_{1} & = \int_{x_{1}}^{x_{2}} d x \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v_{x} d t . \end{aligned}

(2.16)

$Δ x = x_{2} - x_{1}$ của chất điểm chính là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $v_{x} (t)$ và trục hoành thời gian từ $t_{1}$ đến $t_{2}$ .

Nếu ta chọn thời điểm ban đầu là $t_{1} = 0$ với các điều kiện ban đầu $x (0) = x_{0}$ và $v_{x} (0) = v_{0 x}$ , và xét thời điểm tổng quát $t_{2} = t$ , các công thức (2.15) và (2.16) trở thành dạng tường minh:

v_{x} (t) = v_{0 x} + \int_{0}^{t} a_{x} (t^{'}) d t^{'} .

(2.17)

x (t) = x_{0} + \int_{0}^{t} v_{x} (t^{'}) d t^{'} .

(2.18)

(Ở đây ta dùng biến hình thức $t^{'}$ để phân biệt với cận trên $t$ ).

Nhận xét về tính nhất quán của toán học

Nếu là hằng số ( $a_{x} = const$ ), từ (2.17) ta có ngay:

\begin{aligned} v_{x} (t) & = v_{0 x} + a_{x} \int_{0}^{t} d t^{'} \\ = v_{0 x} + a_{x} t . \end{aligned}

Kết quả này khôi phục chính xác phương trình (2.8). Thế vào (2.18):

\begin{aligned} x (t) & = x_{0} + \int_{0}^{t} (v_{0 x} + a_{x} t^{'}) d t^{'} \\ = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2} . \end{aligned}

Kết quả này khôi phục chính xác phương trình (2.12). Điều này cho thấy các công thức biến đổi đều ở mục 2.4 chỉ là trường hợp riêng đơn giản nhất của bài toán tổng quát.

Ví dụ 2.9 — Chuyển động với gia tốc biến thiên tuyến tính

Bài tập: Bài toán

Sally lái ô tô dọc theo một tuyến đường cao tốc thẳng tắp. Tại thời điểm ban đầu $t = 0$ , xe chạy theo chiều dương của trục $x$ với $10.0 m / s$ và vừa đi ngang qua cột mốc tọa độ $x = 50.0 m$ . Do lực cản không khí tăng dần, của ô tô suy giảm tuyến tính theo thời gian theo quy luật:

a_{x} (t) = 2.0 m / s^{2} - (0.10 m / s^{3}) t .

(a) Hãy thiết lập phương trình và vị trí của ô tô theo thời gian. (b) Xác định thời điểm mà vận tốc của xe đạt giá trị cực đại. (c) Vận tốc cực đại đó bằng bao nhiêu? (d) Ô tô đang ở tọa độ nào tại thời điểm đạt vận tốc cực đại?

Lời giải

Nhận diện và Thiết lập: phụ thuộc vào thời gian nên đây là chuyển động biến đổi không đều. Ta phải sử dụng công thức (2.17) và (2.18). Các điều kiện ban đầu đã cho:

Tại $t = 0$ : $x_{0} = 50.0 m$ , $v_{0 x} = 10.0 m / s$ .
Biểu thức : $a_{x} (t) = 2.0 - 0.10 t$ (đơn vị SI).

Triển khai tính toán:

(a) Tìm hàm và vị trí: Áp dụng công thức (2.17). Trong các biểu thức số dưới đây, $t$ tính bằng giây, $v_{x}$ tính bằng mét trên giây và $x$ tính bằng mét:

\begin{aligned} v_{x} (t) & = v_{0 x} + \int_{0}^{t} a_{x} (t^{'}) d t^{'} \\ = 10.0 + \int_{0}^{t} (2.0 - 0.10 t^{'}) d t^{'} \\ = 10.0 + 2.0 t - \frac{1}{2} (0.10) t^{2} \\ = 10.0 + 2.0 t - 0.050 t^{2} (m/s) . \end{aligned}

Tiếp tục lấy hàm theo công thức (2.18) để tìm vị trí $x (t)$ :

\begin{aligned} x (t) & = x_{0} + \int_{0}^{t} v_{x} (t^{'}) d t^{'} \\ = 50.0 + \int_{0}^{t} (10.0 + 2.0 t^{'} - 0.050 {t^{'}}^{2}) d t^{'} \\ = 50.0 + 10.0 t + \frac{1}{2} (2.0) t^{2} - \frac{1}{3} (0.050) t^{3} \\ = 50.0 + 10.0 t + 1.0 t^{2} - \frac{1}{60} t^{3} (m) . \end{aligned}

(b) Thời điểm đạt cực đại: Một hàm số đạt cực trị khi của nó triệt tiêu. Vì $d v_{x} / d t = a_{x}$ , nên vận tốc đạt cực đại đúng vào thời điểm bằng 0:

\begin{aligned} a_{x} (t) & = 2.0 m / s^{2} - (0.10 m / s^{3}) t \\ = 0 \\ ⟹ t & = \frac{2.0 m / s^{2}}{0.10 m / s^{3}} \\ = 20.0 s . \end{aligned}

Ý nghĩa vật lý: Trong $20 s$ đầu tiên, $a_{x} > 0$ và cùng dấu với $v_{x}$ , nên ô tô chuyển động nhanh dần và liên tục tăng. Sau thời điểm $t = 20 s$ , đổi dấu sang âm ( $a_{x} < 0$ ), trở thành gia tốc hãm khiến vận tốc bắt đầu giảm. Do đó $t = 20.0 s$ chính là mốc vận tốc đạt đỉnh cao nhất.

(c) Giá trị cực đại: Thay $t = 20.0 s$ vào biểu thức vận tốc $v_{x} (t)$ :

\begin{aligned} v_{max - x} & = 10.0 + 2.0 (20.0) - 0.050 (20.0)^{2} \\ = 10.0 + 40.0 - 20.0 \\ = 30.0 m / s . \end{aligned}

Giá trị này bằng $108 km / h$ .

(d) Tọa độ của xe khi đạt cực đại: Thay $t = 20.0 s$ vào biểu thức vị trí $x (t)$ :

\begin{aligned} x (20.0 s) & = 50.0 + 10.0 (20.0) + 1.0 (20.0)^{2} - \frac{1}{60} (20.0)^{3} \\ = 50.0 + 200.0 + 400.0 - \frac{8000}{60} \\ = 650.0 - 133.3 \\ \approx 517 m . \end{aligned}

Xe cách mốc ban đầu hơn nửa cây số.

Hình 2.29: Bộ ba đồ thị gia tốc, vận tốc và vị trí theo thời gian của ô tô

Hình 2.29: Phân tích mối quan hệ giữa ba đồ thị $a_{x} (t)$ , $v_{x} (t)$ và $x (t)$ :

Đồ thị $a_{x} (t)$ là đường thẳng dốc xuống, cắt trục hoành tại $t = 20 s$ .
Đồ thị $v_{x} (t)$ là parabol có bề lõm quay xuống, đạt đỉnh cực đại tại $t = 20 s$ với tiếp tuyến nằm ngang ( $a_{x} = 0$ ).
Đồ thị tọa độ $x (t)$ là đường cong bậc ba có độ dốc tăng dần từ $0$ đến $20 s$ (đoạn uốn lõm lên), đạt độ dốc lớn nhất tại $t = 20 s$ , sau đó độ dốc giảm dần (đoạn uốn cong xuống). Điểm $t = 20 s$ chính là điểm uốn của đồ thị vị trí $x (t)$ !

Một câu hỏi tư duy thú vị: Nếu chiếc xe tiếp tục chuyển động theo các quy luật trên thì sau bao lâu xe sẽ dừng hẳn tức thời? Xe dừng lại khi $v_{x} = 0$ , tức là:

\begin{aligned} 10.0 + 2.0 t - 0.050 t^{2} & = 0 \\ ⟺ t^{2} - 40 t - 200 & = 0. \end{aligned}

Phương trình cho nghiệm dương:

t = 20 + \sqrt{600} \approx 44.5 s .

Vậy tại thời điểm $44.5 s$ , chiếc xe sẽ tạm dừng lại trước khi bắt đầu lùi về sau!

Câu hỏi kiểm tra hiểu bài

Bài tập: Câu hỏi kiểm tra

Nếu $a_{x}$ của một chất điểm chuyển động dọc theo trục $x$ luôn dương và tăng dần theo thời gian, thì hình dạng của đồ thị $v_{x}$ theo thời gian sẽ là: (i) Một đường thẳng dốc lên. (ii) Một đường cong uốn lõm lên trên (độ dốc tăng dần). (iii) Một đường cong uốn vồng xuống dưới (độ dốc giảm dần).

Lời giải & Phân tích

Chọn (ii): Đường cong uốn lõm lên trên. Hệ số góc (độ dốc) của tiếp tuyến tại mỗi điểm trên đồ thị $v_{x} (t)$ chính là $a_{x} = d v_{x} / d t$ . Nếu gia tốc $a_{x} > 0$ và liên tục tăng theo thời gian, điều đó có nghĩa là độ dốc của đồ thị vận tốc phải ngày càng dốc đứng hơn khi thời gian trôi đi. Hình dạng hình học của một đường có độ dốc tăng dần chính là đường cong uốn lõm lên trên. (Nếu gia tốc không đổi, đồ thị mới là đường thẳng dốc lên ứng với đáp án (i); nếu gia tốc giảm dần về 0, đồ thị mới là đường cong vồng xuống ứng với đáp án (iii)).

Tóm tắt kiến thức cốt lõi Chương 2

Chương 2 đặt nền móng cho cơ học cổ điển thông qua việc mô tả chuyển động một chiều dọc theo một trục thẳng (động học một chiều). Toàn bộ chương xoay quanh ba đại lượng cơ bản: Vị trí $x (t)$ , $v_{x} (t)$ , và $a_{x} (t)$ , được liên kết chặt chẽ với nhau thông qua phép tính vi và các phương trình động học.

1. Vận tốc trung bình và Vận tốc tức thời

trên khoảng thời gian $Δ t = t_{2} - t_{1}$ là đại lượng vector đại số, đo bằng tỉ số giữa $Δ x = x_{2} - x_{1}$ và thời gian thực hiện:
$v_{tb - x} = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} . (2.2)$
Về hình học, $v_{tb - x}$ chính là hệ số góc (độ dốc) của cát tuyến nối hai điểm $(t_{1}, x_{1})$ và $(t_{2}, x_{2})$ trên đồ thị vị trí — thời gian $x (t)$ .
tại thời điểm $t$ là vận tốc tại một thời điểm xác định, được định nghĩa là bậc nhất của hàm vị trí theo thời gian:
$v_{x} = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{d x}{d t} . (2.3)$
Về hình học, $v_{x}$ là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong $x (t)$ tại thời điểm $t$ .
là độ lớn vô hướng của : $v = | v_{x} | \geq 0$ . Tốc độ không bao giờ âm, trong khi vận tốc có dấu để chỉ hướng chuyển động.

Sơ đồ tóm tắt vận tốc: Cát tuyến cho vận tốc trung bình và Tiếp tuyến cho vận tốc tức thời trên đồ thị x-t

Hình 2.S1: Đồ thị tọa độ theo thời gian $x (t)$ . Độ dốc của đường cát tuyến nối $(t_{1}, x_{1})$ và $(t_{2}, x_{2})$ biểu diễn $v_{tb - x}$ . Độ dốc của tiếp tuyến tại từng điểm biểu diễn vận tốc tức thời $v_{x}$ .

2. Gia tốc trung bình và Gia tốc tức thời

là tốc độ biến thiên của trong khoảng thời gian $Δ t$ :
$a_{tb - x} = \frac{Δ v_{x}}{Δ t} = \frac{v_{2 x} - v_{1 x}}{t_{2} - t_{1}} . (2.4)$
Biểu diễn hình học: Hệ số góc của cát tuyến nối $(t_{1}, v_{1 x})$ và $(t_{2}, v_{2 x})$ trên đồ thị — thời gian $v_{x} (t)$ .
là bậc nhất của theo thời gian, đồng thời là đạo hàm bậc hai của tọa độ theo thời gian:
$a_{x} = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ v_{x}}{Δ t} = \frac{d v_{x}}{d t} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} . (2.5)$
Biểu diễn hình học: Hệ số góc của tiếp tuyến trên đồ thị $v_{x} (t)$ , đồng thời quyết định độ cong (bề lõm) của đồ thị $x (t)$ .
Quy tắc nhận diện nhanh tính chất chuyển động:
- Nếu $v_{x}$ và $a_{x}$ cùng dấu ( $v_{x} \cdot a_{x} > 0$ ): Vật chuyển động nhanh dần (tốc độ $| v_{x} |$ tăng).
- Nếu $v_{x}$ và $a_{x}$ trái dấu ( $v_{x} \cdot a_{x} < 0$ ): Vật chuyển động chậm dần (tốc độ $| v_{x} |$ giảm).

Sơ đồ tóm tắt gia tốc: Độ dốc tiếp tuyến của đồ thị v-t là gia tốc tức thời

Hình 2.S2: Đồ thị theo thời gian $v_{x} (t)$ . Cát tuyến nối hai thời điểm cho $a_{tb - x}$ , trong khi tiếp tuyến tại mỗi thời điểm cho gia tốc tức thời $a_{x}$ .

3. Chuyển động biến đổi đều (Gia tốc không đổi: $a_{x} = const$ )

Khi không đổi, ta có hệ bốn phương trình động học kinh điển kết nối 5 đại lượng $(x - x_{0}, v_{0 x}, v_{x}, a_{x}, t)$ :

\begin{aligned} v_{x} & = v_{0 x} + a_{x} t, (2.8) \\ x & = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}, (2.12) \\ v_{x}^{2} & = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} (x - x_{0}), (2.13) \\ x - x_{0} & = \frac{1}{2} (v_{0 x} + v_{x}) t . (2.14) \end{aligned}

(Lưu ý: Bộ phương trình này CHỈ có giá trị khi và chỉ khi là một hằng số).

Sơ đồ tóm tắt chuyển động biến đổi đều: Vector gia tốc không đổi và khoảng cách tăng theo cấp số

Hình 2.S3: Chuyển động thẳng biến đổi đều với cố định $\vec{a}$ . Khoảng cách giữa các vị trí sau những khoảng thời gian bằng nhau liên tục biến đổi theo quy luật bậc hai của thời gian.

4. Chuyển động rơi tự do

là chuyển động của một vật chỉ chịu tác dụng duy nhất của trọng lực (bỏ qua mọi lực cản của không khí).
Mọi vật tại cùng một vị trí đều có cùng một gia tốc trọng trường hướng thẳng đứng xuống dưới với độ lớn:
$g \approx 9.80 m / s^{2} .$
Khi chọn trục $O y$ hướng thẳng đứng lên trên, thành phần là $a_{y} = - g = - 9.80 m / s^{2}$ .
Tại đỉnh quỹ đạo của một vật được ném lên cao, triệt tiêu ( $v_{y} = 0$ ), nhưng vẫn giữ nguyên $a_{y} = - g$ .
Chuyển động có tính đối xứng hoàn hảo về thời gian và độ lớn khi đi lên và rơi xuống qua cùng một độ cao.

Sơ đồ tóm tắt rơi tự do: Vector gia tốc luôn hướng xuống trong cả hai giai đoạn lên và xuống

Hình 2.S4: Khi ném thẳng đứng lên cao, vector $\vec{g}$ luôn hướng thẳng đứng chúc xuống dưới tại mọi điểm trên quỹ đạo: Cả khi bay lên ( $v_{y} > 0$ ), tại đỉnh cao nhất ( $v_{y} = 0$ ), và khi rơi xuống ( $v_{y} < 0$ ).

5. Chuyển động với gia tốc biến thiên — Phương pháp vi tích phân

Khi phụ thuộc vào thời gian $a_{x} = a_{x} (t)$ , ta tìm lại và vị trí thông qua hai lần lấy xác định:

\begin{aligned} v_{x} (t) & = v_{0 x} + \int_{0}^{t} a_{x} (t^{'}) d t^{'}, (2.17) \\ x (t) & = x_{0} + \int_{0}^{t} v_{x} (t^{'}) d t^{'} . (2.18) \end{aligned}

Về mặt hình học:

Độ biến thiên $Δ v_{x}$ bằng diện tích hình thang cong dưới đồ thị — thời gian $a_{x} (t)$ .
$Δ x$ bằng diện tích hình thang cong dưới đồ thị — thời gian $v_{x} (t)$ .

Sơ đồ tóm tắt tích phân: Diện tích dưới đồ thị gia tốc là độ biến thiên vận tốc

Hình 2.S5: Ý nghĩa hình học của : Diện tích dải vi phân dưới đường cong $a_{x} (t)$ biểu thị độ biến thiên $d v_{x} = a_{x} d t$ , và tổng diện tích dưới đồ thị cho độ biến thiên vận tốc toàn phần.

Tài liệu tham khảo học thuật

Hugh D. Young & Roger A. Freedman, University Physics with Modern Physics, 15th Edition (Pearson).
Halliday, Resnick & Walker, Fundamentals of Physics, 11th Edition (Wiley).

Luyện tập có hướng dẫn và Bài toán tổng hợp

Hệ thống bài tập dưới đây được thiết kế nhằm rèn luyện tư duy độc lập và kỹ năng vận dụng linh hoạt các phương trình động học một chiều, từ việc phân tích các chuyển động gặp nhau đến giải quyết bài toán hai giai đoạn của vật .

Các bài biến thể từ Ví dụ 2.5 (Chuyển động đuổi nhau và gặp nhau)

Lời khuyên trước khi bắt đầu: Hãy xem lại phương pháp thiết lập phương trình tọa độ của hai vật trong cùng một hệ quy chiếu đã được trình bày ở Ví dụ 2.5. Điều kiện cốt lõi để hai vật gặp nhau hoặc vượt qua nhau là tọa độ của chúng phải trùng nhau ( $x_{1} = x_{2}$ ).

Bài tập: VP2.5.1

Một ô tô thể thao xuất phát từ trạng thái nghỉ tại một ngã tư, tăng tốc về phía đông trên một đại lộ thẳng tắp với không đổi $8.0 m / s^{2}$ . Đúng lúc chiếc xe thể thao bắt đầu lăn bánh, một chiếc xe buýt đang chạy đều về phía đông trên cùng tuyến đường với tốc độ $18 m / s$ vượt qua nó. Khi ô tô thể thao tăng tốc đuổi kịp và vượt qua xe buýt: (a) Đã có bao nhiêu thời gian trôi qua kể từ lúc xuất phát? (b) Ô tô thể thao đã đi được quãng đường bao xa?

Bài tập: VP2.5.2

Một chiếc ô tô chạy trên đường thẳng với tốc độ không đổi $30.0 m / s$ , vi phạm giới hạn tốc độ quy định. Đúng lúc ô tô đi ngang qua một mô tô cảnh sát giao thông đang đỗ bên lề đường, người cảnh sát lập tức tăng ga đuổi theo. Mô tô tăng tốc đều từ trạng thái nghỉ và đuổi kịp, vượt qua chiếc ô tô sau đúng $12.5 s$ . (a) của mô tô cảnh sát bằng bao nhiêu (giả thiết gia tốc không đổi trong suốt hành trình)? (b) Mô tô cảnh sát đã chạy được một quãng đường dài bao nhiêu trước khi vượt qua chiếc xe vi phạm?

Bài tập: VP2.5.3

Một xe cảnh sát đang tuần tra trên đường thẳng về phía bắc với tốc độ không đổi $20.0 m / s$ . Một chiếc SUV thể thao cũng chạy về phía bắc với tốc độ $30.0 m / s$ vọt lên vượt xe cảnh sát. Người lái xe SUV lập tức nhận ra mình vi phạm tốc độ, nên ngay tại khoảnh khắc vừa vượt qua mũi xe cảnh sát, người này đã đạp phanh để giảm tốc với không đổi có độ lớn $1.80 m / s^{2}$ . (a) Sau bao lâu kể từ lúc xe SUV vượt lên thì xe cảnh sát bắt kịp và vượt ngược lại chiếc SUV? (b) Chiếc SUV đã đi thêm được quãng đường bao xa trong khoảng thời gian này? (c) Tốc độ của xe SUV tại thời điểm bị xe cảnh sát bắt kịp là bao nhiêu?

Bài tập: VP2.5.4

Tại thời điểm $t = 0$ , một xe tải bắt đầu tăng tốc từ trạng thái nghỉ tại gốc tọa độ $x = 0$ theo chiều dương của trục $x$ với không đổi $a_{T}$ . Cũng đúng tại $t = 0$ , một ô tô con đi qua $x = 0$ theo chiều $+ x$ với ban đầu $v_{C}$ , nhưng ô tô đang hãm phanh với gia tốc không đổi hướng ngược chiều chuyển động: $a_{car - x} = - a_{C}$ (với $a_{C} > 0$ ). (a) Xác định thời điểm $t$ mà xe tải bắt kịp và vượt qua ô tô con (biểu diễn theo $v_{C}, a_{T}, a_{C}$ ). (b) Tọa độ $x$ tại vị trí hai xe gặp nhau bằng bao nhiêu?

Các bài biến thể từ Ví dụ 2.7 (Chuyển động thẳng đứng và Rơi tự do)

Bài tập: VP2.7.1

Từ mép một vách đá dựng đứng, bạn ném một quả bóng thẳng đứng lên không trung với đầu $12.0 m / s$ . Bỏ qua sức cản không khí. Chọn trục $O y$ hướng thẳng đứng lên trên, gốc tọa độ $y = 0$ tại điểm bóng rời tay. Xác định vị trí và vận tốc của quả bóng: (a) Sau $0.300 s$ kể từ khi rời tay. (b) Sau $2.60 s$ kể từ khi rời tay. Tại mỗi thời điểm, hãy cho biết quả bóng đang ở cao hơn hay thấp hơn vị trí ném, và đang bay lên hay rơi xuống.

Bài tập: VP2.7.2

Từ đỉnh một ngọn tháp cao, bạn ném một viên đá thẳng đứng chúc xuống dưới với tốc độ đầu $8.00 m / s$ . Bỏ qua lực cản không khí. Chọn trục $O y$ hướng thẳng đứng lên trên, gốc tọa độ $y = 0$ tại vị trí rời tay. (a) Xác định vị trí và của viên đá sau $1.50 s$ kể từ lúc ném. (b) Xác định vận tốc của viên đá khi nó đã rơi xuống thấp hơn vị trí rời tay $8.00 m$ .

Bài tập: VP2.7.3

Một vận động viên ném một quả bóng bầu dục thẳng đứng lên cao. Bỏ qua sức cản không khí. (a) Khi bóng ở vị trí cao hơn điểm ném $4.00 m$ , nó đang bay lên với tốc độ $0.500 m / s$ . Tốc độ của quả bóng lúc vừa rời tay vận động viên là bao nhiêu? (b) Cần bao nhiêu thời gian kể từ khoảnh khắc ném để quả bóng đạt tới độ cao $4.00 m$ đó trong lượt bay lên?

Bài tập: VP2.7.4

Một quả bóng tennis được ném thẳng đứng lên cao và đạt độ cao cực đại $H$ so với vị trí ném. Bỏ qua sức cản của không khí. (a) Tốc độ lúc rời tay của quả bóng bằng bao nhiêu (biểu diễn theo $g$ và $H$ )? (b) Khi bóng ở độ cao bằng một nửa độ cao cực đại ( $y = H / 2$ ), tốc độ của nó bằng bao nhiêu? Hãy biểu diễn kết quả dưới dạng tỉ số so với tốc độ lúc ném. (c) Tại độ cao nào so với điểm ném thì tốc độ của bóng bị giảm đi một nửa so với tốc độ ban đầu? Hãy biểu diễn kết quả theo $H$ .

Các bài biến thể từ Ví dụ 2.8 (Giải và biện luận nghiệm phương trình bậc hai)

Bài tập: VP2.8.1

Từ mép một vách đá cao, bạn ném một hòn sỏi thẳng đứng lên trên lúc $t = 0$ với tốc độ đầu $12.0 m / s$ . Bỏ qua sức cản của không khí. (a) Hãy tìm cả hai thời điểm mà hòn sỏi ở vị trí cao hơn điểm ném $4.00 m$ . (b) Tìm thời điểm hòn sỏi rơi xuống vị trí thấp hơn điểm ném $4.00 m$ .

Bài tập: VP2.8.2

Từ sân thượng một tòa nhà, bạn ném một quả bóng rổ thẳng đứng xuống dưới lúc $t = 0$ với tốc độ ban đầu $9.00 m / s$ . Bỏ qua sức cản không khí. Hãy xác định thời điểm quả bóng rơi xuống vị trí thấp hơn điểm ném $5.00 m$ .

Bài tập: VP2.8.3

Bạn tung một quả táo thẳng đứng lên không trung lúc $t = 0$ với tốc độ đầu $5.50 m / s$ . Bỏ qua sức cản không khí. (a) Quả táo sẽ đi qua điểm cao hơn tay bạn $1.30 m$ bao nhiêu lần: Hai lần, một lần hay không lần nào? Nếu có, hãy tìm các thời điểm đó và nêu rõ chiều chuyển động của quả táo. (b) Trả lời câu hỏi tương tự đối với độ cao $1.80 m$ phía trên điểm ném.

Bài tập: VP2.8.4

Một quả cam được ném thẳng đứng lên cao từ trạng thái nghỉ với tốc độ ban đầu $v_{0}$ . Bỏ qua sức cản không khí. (a) Quả cam sẽ ở độ cao $y = \frac{v_{0}^{2}}{2 g}$ tại thời điểm nào? Khi đó quả cam đang chuyển động theo hướng nào? (b) Quả cam sẽ ở độ cao $y = \frac{3 v_{0}^{2}}{8 g}$ tại những thời điểm nào? Trạng thái chuyển động tại các thời điểm đó ra sao?

Bài toán tổng hợp — Cú rơi của siêu anh hùng

Bài tập: Bài toán tổng hợp

Trong một phân cảnh giải cứu kịch tính, siêu anh hùng Green Lantern bước khỏi mép sân thượng của một tòa nhà chọc trời và từ trạng thái nghỉ xuống mặt đất. Dữ liệu ghi hình cho thấy: Trong đúng $1.00 s$ cuối cùng của cú rơi, anh đã vượt qua một nửa tổng chiều cao của tòa nhà (Hình 2.30). Hãy xác định chiều cao $h$ của tòa nhà đó. Bỏ qua sức cản của không khí.

Hình 2.30: Green Lantern rơi tự do từ đỉnh tòa nhà, vượt qua nửa chiều cao sau trong 1.00 giây

Hình 2.30: Toàn bộ cú rơi có độ cao là $h$ . Nửa quãng đường đầu rơi hết khoảng cách $h / 2$ , và nửa quãng đường sau cũng dài $h / 2$ nhưng chỉ mất đúng khoảng thời gian $Δ t = 1.00 s$ do tốc độ rơi đã rất lớn.

Gợi ý: Hướng dẫn phương pháp giải

Tư duy sư phạm và Chiến lược giải quyết: Đây là bài toán kinh điển đòi hỏi tư duy chia chặng hoặc lập tỉ số thời gian một cách thông minh:

Toàn bộ hành trình: Green Lantern từ trạng thái nghỉ ( $v_{0} = 0$ ) từ độ cao $h$ . Nếu gọi $t$ là tổng thời gian rơi từ đỉnh tòa nhà chạm đất, theo phương trình động học:
$h = \frac{1}{2} g t^{2} .$
Chặng thứ nhất (nửa chiều cao đầu): Vật rơi từ đỉnh xuống điểm chính giữa tòa nhà, tức là đi được quãng đường $h / 2$ . Gọi $t_{1}$ là thời gian rơi của chặng này:
$\frac{h}{2} = \frac{1}{2} g t_{1}^{2} ⟹ t_{1}^{2} = \frac{h}{g} = \frac{t^{2}}{2} ⟹ t_{1} = \frac{t}{\sqrt{2}} .$
Chặng thứ hai (nửa chiều cao cuối): Thời gian đi hết nửa chiều cao còn lại chính là hiệu số giữa tổng thời gian và thời gian chặng đầu:
$Δ t = t - t_{1} = 1.00 s .$
Thay $t_{1} = \frac{t}{\sqrt{2}}$ vào:
$t (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 1.00 s ⟹ t = \frac{1.00}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} (\sqrt{2} + 1) = 2 + \sqrt{2} \approx 3.414 s .$
Tính chiều cao $h$ :
$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} (9.80 m / s^{2}) (3.414 s)^{2} \approx \frac{1}{2} (9.80) (11.657) \approx 57.1 m .$
Kiểm tra tính nhất quán:
- Thời gian rơi nửa đầu: $t_{1} = 3.414 / \sqrt{2} \approx 2.414 s$ . Quãng đường rơi: $\frac{1}{2} (9.80) (2.414)^{2} \approx 28.56 m \approx h / 2$ .
- Hiệu số thời gian: $t - t_{1} = 3.414 - 2.414 = 1.00 s$ . Kết quả hoàn toàn chuẩn xác!

Câu hỏi thảo luận và Đào sâu bản chất

Hệ thống câu hỏi thảo luận dưới đây không yêu cầu tính toán số học phức tạp mà tập trung kiểm tra khả năng hiểu sâu sắc bản chất vật lý, phân biệt rạch ròi các khái niệm dễ nhầm lẫn và rèn luyện năng lực tư duy phản biện khoa học.

Bài tập: Q2.1

Đồng hồ tốc độ (speedometer) gắn trên bảng táp-lô của ô tô hay xe máy đo tốc độ hay đo của xe? Hãy giải thích rõ sự khác biệt giữa hai khái niệm này trong ngữ cảnh đó.

Bài tập: Q2.2

Các chấm đen ở phần trên của Hình Q2.2 ghi lại vị trí của một chú côn trùng đang bay trên một đường thẳng từ trái sang phải (chiều dương $+ x$ ) sau những khoảng thời gian bằng nhau chằn chặn. Đồ thị nào trong số các phương án (a), (b), (c), (d), (e) phản ánh chính xác nhất quy luật chuyển động của chú côn trùng này?

Hình Q2.2: Chuỗi ảnh chụp vị trí của côn trùng và các đồ thị chuyển động tương ứng

Hình Q2.2: Phân tích các đồ thị lựa chọn: Các phương án (a), (d), (e) biểu diễn đồ thị — thời gian $v_{x} (t)$ ; phương án (b) biểu diễn đồ thị — thời gian $a_{x} (t)$ ; phương án (c) biểu diễn đồ thị tọa độ — thời gian $x (t)$ .

Bài tập: Q2.3

Một vật chuyển động thẳng với không đổi có thể đảo ngược chiều chuyển động của mình hay không? Vật đó có thể đảo ngược chiều chuyển động hai lần liên tiếp không? Hãy lập luận chặt chẽ cho cả hai tình huống.

Bài tập: Q2.4

Trong điều kiện chuyển động cụ thể nào thì của một vật trên một khoảng thời gian sẽ bằng đúng vận tốc tức thời tại mọi thời điểm trong khoảng thời gian đó?

Bài tập: Q2.5

Một chất điểm chuyển động có thể: (a) Chuyển động chậm dần trong khi độ lớn của lại liên tục tăng lên hay không? (b) Chuyển động nhanh dần trong khi độ lớn của gia tốc lại liên tục suy giảm hay không? Hãy đưa ra ví dụ thực tế hoặc lập luận toán học cho từng trường hợp.

Bài tập: Q2.6

Trong điều kiện chuyển động nào thì độ lớn của vector $| {\vec{v}}_{tb} |$ sẽ bằng đúng $v_{tb}$ của vật?

Bài tập: Q2.7

Tại thời điểm ban đầu, chiếc Dodge Viper đang đỗ tại tiệm rửa xe Elwood, trong khi chiếc BMW Z3 đang đỗ tại ngã tư Elm & Main. Một lát sau, người ta thấy chiếc Dodge Viper đã có mặt tại ngã tư Elm & Main, còn chiếc BMW Z3 lại xuất hiện tại tiệm rửa xe Elwood. của hai chiếc xe trong khoảng thời gian nói trên có mối quan hệ như thế nào với nhau?

Bài tập: Q2.8

Một tài xế tại bang Massachusetts bị cảnh sát giao thông lập biên bản và đưa ra tòa vì cáo buộc chạy quá tốc độ quy định. Bằng chứng của cảnh sát là tại một thời điểm xác định, xe của anh ta chạy song song ngang hàng với một chiếc xe khác đã bị máy bắn tốc độ ghi nhận chạy quá tốc độ. Người tài xế tự bào chữa: "Chiếc xe đó đang tăng tốc vượt qua tôi; tôi hoàn toàn chạy đúng tốc độ quy định." Vị thẩm phán bác bỏ lời bào chữa với lập luận: "Nếu hai xe đang ở cạnh nhau ngang hàng tại cùng một thời điểm, cả hai ắt hẳn phải chạy cùng một tốc độ và đều vi phạm." Nếu bạn là một luật sư am hiểu sâu sắc cơ học cổ điển, bạn sẽ dùng những luận cứ vật lý nào để bảo vệ thân chủ của mình?

Bài tập: Q2.9

Một chuyển động có thể có bằng không ( $Δ x = 0$ ) nhưng lại khác không được không? Một chuyển động có thể có độ dời bằng không nhưng vận tốc tức thời tại các thời điểm trung gian lại khác không được không? Hãy minh họa câu trả lời của bạn bằng đồ thị tọa độ — thời gian $x (t)$ .

Bài tập: Q2.10

Một vật có thể có bằng không ( $a_{x} = 0$ ) nhưng vẫn khác không ( $v_{x} \neq 0$ ) hay không? Hãy dùng đồ thị vận tốc — thời gian $v_{x} (t)$ để giải thích.

Bài tập: Q2.11

Một vật có thể có bằng không ( $v_{x} = 0$ ) nhưng lại khác không ( $a_{x} \neq 0$ ) hay không? Hãy dùng đồ thị $v_{x} (t)$ để làm sáng tỏ và nêu một ví dụ chuyển động hết sức quen thuộc trong tự nhiên.

Bài tập: Q2.12

Một chiếc ô tô đang chuyển động về hướng tây. Chiếc xe đó có thể đồng thời có hướng về phía tây nhưng lại hướng về phía đông được không? Tình huống này xảy ra khi nào trên thực tế?

Bài tập: Q2.13

Chiếc xe của trọng tài trong Hình 2.2 ở tọa độ $x_{1} = 277 m$ lúc $t_{1} = 16.0 s$ , và ở tọa độ $x_{2} = 19 m$ lúc $t_{2} = 25.0 s$ . (a) Hãy phác họa hai dạng đồ thị $x (t)$ hoàn toàn khác nhau cùng thỏa mãn hai mốc trạng thái này. (b) $v_{tb - x}$ từ $t_{1}$ đến $t_{2}$ đối với hai chuyển động trên có bắt buộc phải bằng nhau hay không? Tại sao?

Bài tập: Q2.14

Đối với chuyển động biến đổi đều ( $a_{x} = const$ ), trên khoảng thời gian bất kỳ luôn bằng trung bình cộng của vận tốc đầu và vận tốc cuối: $v_{tb - x} = \frac{1}{2} (v_{0 x} + v_{x})$ . Hệ thức này có còn đúng khi biến thiên theo thời gian hay không? Hãy chứng minh hoặc đưa ra phản ví dụ.

Bài tập: Q2.15

Bạn cầm một quả bóng chày và vung tay ném thật mạnh thẳng đứng lên không trung, quả bóng bay lên độ cao lớn hơn nhiều so với chiều cao cơ thể bạn. Độ lớn của quả bóng lớn hơn trong giai đoạn đang được tay bạn tăng tốc đẩy lên hay sau khi bóng đã rời khỏi tay? Hãy giải thích rõ bản chất lực tác dụng.

Bài tập: Q2.16

Hãy chứng minh một cách chặt chẽ các tính chất đối xứng sau đây của chuyển động (khi bỏ qua hoàn toàn sức cản không khí): (a) Một vật được ném thẳng đứng lên cao từ mặt đất sẽ rơi trở lại điểm xuất phát với tốc độ bằng đúng tốc độ lúc ném. (b) Tổng thời gian vật bay lơ lửng trên không trung đúng bằng hai lần thời gian vật bay từ điểm ném lên tới đỉnh cao nhất.

Bài tập: Q2.17

Một vòi nước bị rò rỉ và nhỏ từng giọt nước đều đặn xuống sàn, giọt nọ cách giọt kia đúng $1.0 s$ . Khi các giọt nước đang trong không khí, khoảng cách không gian giữa hai giọt nước liên tiếp sẽ tăng lên, giảm đi hay giữ nguyên không đổi theo thời gian? Hãy chứng minh câu trả lời bằng phương trình toán học.

Bài tập: Q2.18

Nếu bạn biết tọa độ ban đầu $x_{0}$ , ban đầu $v_{0 x}$ của một phương tiện và sở hữu một bảng ghi liên tục dữ liệu $a_{x} (t)$ tại từng thời điểm, liệu bạn có thể xác định được chính xác tọa độ của phương tiện sau một khoảng thời gian bất kỳ hay không? Nếu có, hãy nêu rõ các bước toán học cần tiến hành.

Bài tập: Q2.19

Từ đỉnh của một tòa tháp cao, bạn ném quả bóng thứ nhất thẳng đứng lên trời với tốc độ ban đầu $v_{0}$ , đồng thời ném quả bóng thứ hai thẳng đứng chúc xuống đất cũng với tốc độ ban đầu $v_{0}$ . Bỏ qua sức cản không khí. (a) Quả bóng nào sẽ có tốc độ lớn hơn khi vừa chạm mặt đất? (b) Quả bóng nào sẽ chạm đất trước? (c) Quả bóng nào có lớn hơn kể từ lúc ném đến khi chạm đất? (d) Quả bóng nào đi được tổng quãng đường dài hơn?

Bài tập: Q2.20

Bạn chạy thẳng tắp về phía đông trên chặng đường thứ nhất dài $120.0 m$ với tốc độ không đổi $3.00 m / s$ , sau đó tiếp tục chạy thẳng về phía đông trên chặng đường thứ hai cũng dài đúng $120.0 m$ với tốc độ không đổi $5.00 m / s$ . Trên toàn bộ quãng đường $240.0 m$ , của bạn bằng, lớn hơn hay nhỏ hơn giá trị trung bình cộng $4.00 m / s$ ? Hãy giải thích bản chất toán học của kết quả này.

Bài tập: Q2.21

Một vật được ném thẳng đứng lên không trung và không chịu sức cản của môi trường. Tại sao tại điểm cao nhất của quỹ đạo, khi vật đã ngừng chuyển động tức thời ( $v = 0$ ), nó vẫn có hướng xuống? Hãy giải thích dựa trên mối liên hệ giữa lực và gia tốc (Định luật II Newton).

Bài tập: Q2.22

Thả một vật từ trạng thái nghỉ ở độ cao $h$ , vật mất thời gian $T$ để chạm đất. Nếu thả vật rơi tự do từ trạng thái nghỉ ở độ cao lớn gấp 3 lần ( $3 h$ ), thì thời gian chạm đất sẽ bằng bao nhiêu lần $T$ ?

Hệ thống bài tập theo từng chuyên đề

Quy ước phân loại bài tập:

•, ••, •••: Mức độ thử thách từ cơ bản, vận dụng đến nâng cao.
CP (Cumulative Problem): Bài toán tích hợp kiến thức tổng hợp liên chương.
CALC: Bài toán sử dụng công cụ giải tích vi ( / tích phân).
DATA: Bài tập xử lý số liệu thực nghiệm, đánh giá bằng chứng khoa học và suy luận thống kê.
BIO: Bài toán ứng dụng trong y học, kỹ thuật y sinh và sinh học vận động.

Mục 2.1 — Độ dời, thời gian và Vận tốc trung bình

Bài tập 2: 1 •

Một chiếc ô tô chuyển động thẳng dọc theo chiều dương của trục $x$ . Trong khoảng thời gian $4.00 s$ đầu tiên, của ô tô là $v_{tb - x} = 6.25 m / s$ . Hãy tính quãng đường ô tô đã đi được trong $4.00 s$ này.

Bài tập 2: 2 ••

Trong một nghiên cứu sinh thái học hành vi, một con chim hải âu shearwater được mang khỏi tổ, chở bằng máy bay tới một hòn đảo cách tổ $5150 km$ rồi thả tự do. Sau $13.5$ ngày đêm kể từ thời điểm thả, con chim đã tự định vị và bay trở về tới đúng tổ của mình. Chọn gốc tọa độ tại tổ chim và trục $O x$ hướng thẳng tới điểm thả chim. Hãy xác định (tính bằng $m / s$ ): (a) Trên chặng bay định hướng quay trở về tổ. (b) Trên toàn bộ hành trình khép kín từ lúc chim rời tổ đến khi về lại tổ.

Bài tập 2: 3 •• — Chuyến xe chiều cuối tuần

Thông thường, khi lái xe trên xa lộ liên bang giữa San Diego và Los Angeles với ổn định $105 km / h$ ( $65 mi / h$ ), bạn mất khoảng $1$ giờ $50$ phút. Tuy nhiên, vào một buổi chiều thứ sáu mật độ phương tiện đông đúc, tốc độ trung bình trên toàn tuyến bị kéo tụt xuống chỉ còn $70 km / h$ ( $43 mi / h$ ). Chuyến đi của bạn khi đó sẽ bị kéo dài thêm bao nhiêu thời gian?

Bài tập 2: 4 •• — Chạy định hướng giữa hai mốc tiêu

Xuất phát từ một cột trụ mốc, bạn chạy $200 m$ về phía đông (chiều dương $+ x$ ) với $5.0 m / s$ . Sau đó, bạn quay đầu chạy $280 m$ về phía tây với tốc độ trung bình $4.0 m / s$ tới một biển báo. Hãy tính: (a) Tốc độ trung bình trên toàn bộ đường chạy. (b) từ cột trụ xuất phát đến biển báo kết thúc.

Bài tập 2: 5 •

Từ bậc thềm trước cửa một trang trại, bạn đi bộ $60.0 m$ thẳng về phía đông tới một cối xay gió, sau đó quay gót đi chậm $40.0 m$ về phía tây tới một chiếc ghế gỗ dưới bóng cây để ngắm bình minh. Thời gian đi từ thềm nhà tới cối xay gió là $28.0 s$ , và từ cối xay gió tới ghế gỗ là $36.0 s$ . Trên toàn bộ hành trình từ thềm nhà tới ghế gỗ: (a) của bạn bằng bao nhiêu? (b) của bạn bằng bao nhiêu?

Bài tập 2: 6 ••

Một chiếc ô tô chuyển động trên một đoạn đường thẳng tắp. Tọa độ khoảng cách $x$ của xe tới một biển báo dừng xe tuân theo quy luật thời gian: $x (t) = α t^{2} - β t^{3}$ , trong đó $α = 1.50 m / s^{2}$ và $β = 0.0500 m / s^{3}$ . Hãy tính của ô tô trên các khoảng thời gian: (a) Từ $t = 0$ đến $t = 2.00 s$ . (b) Từ $t = 0$ đến $t = 4.00 s$ . (c) Từ $t = 2.00 s$ đến $t = 4.00 s$ .

Mục 2.2 — Vận tốc tức thời

Bài tập 2: 7 • CALC

Một ô tô đang dừng chờ đèn đỏ thì bắt đầu khởi hành trên đường thẳng khi đèn xanh bật sáng. Khoảng cách từ ô tô tới cột đèn giao thông được cho bởi hàm số: $x (t) = β t^{2} - γ t^{3}$ , trong đó $β = 2.40 m / s^{2}$ và $γ = 0.120 m / s^{3}$ . (a) Tính của ô tô trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 10.0 s$ . (b) Tính vận tốc tức thời của ô tô tại các thời điểm $t = 0$ , $t = 5.0 s$ và $t = 10.0 s$ . (c) Sau bao lâu kể từ lúc bắt đầu chuyển động, ô tô lại rơi vào trạng thái dừng lại tức thời?

Bài tập 2: 8 • CALC

Một chú chim di cư bay thẳng tắp về phía đông. Khoảng cách của chim tới một tháp viễn thông tuân theo biểu thức:

x (t) = 28.0 m + (12.4 m / s) t - (0.0450 m / s^{3}) t^{3} .

của chú chim tại thời điểm $t = 8.00 s$ bằng bao nhiêu?

Bài tập 2: 9 ••

Một quả bóng chuyển động dọc theo một đường thẳng chọn làm trục $x$ . Hình E2.9 thể hiện đồ thị của bóng theo thời gian. (a) Trong $3.0 s$ đầu tiên, và vận tốc trung bình của bóng bằng bao nhiêu? (b) Giả sử quả bóng chuyển động sao cho nhánh đồ thị sau $t = 2.0 s$ nhận giá trị $- 3.0 m / s$ thay vì $+ 3.0 m / s$ . Hãy xác định tốc độ trung bình và vận tốc trung bình của bóng trong trường hợp này.

Hình E2.9: Đồ thị vận tốc theo thời gian của quả bóng trong ba giây đầu

Hình E2.9: Trục tung $v_{x}$ đo bằng $m / s$ , trục hoành $t$ đo bằng giây; các mốc là $1.0$ , $2.0$ , $3.0 m / s$ .

Bài tập 2: 10 ••

Một nữ giảng viên vật lý rời nhà và rảo bước dọc theo vỉa hè thẳng hướng về giảng đường. Đi được $5$ phút thì trời đổ mưa rào bất chợt, cô quay gót rảo bước trở về nhà. Đồ thị khoảng cách từ cô tới nhà theo thời gian được mô tả ở Hình E2.10. Tại các điểm được đánh dấu từ I đến V, của cô: (a) Bằng 0? (b) Không đổi và mang giá trị dương? (c) Không đổi và mang giá trị âm? (d) Đang tăng về độ lớn? (e) Đang giảm về độ lớn?

Hình E2.10: Khoảng cách từ giảng viên đến nhà theo thời gian với các điểm I đến V

Hình E2.10: Trục tung $x$ đo khoảng cách bằng mét, trục hoành $t$ đo thời gian bằng phút. Các điểm I–V đánh dấu các giai đoạn động học khác nhau.

Bài tập 2: 11 ••

Một chiếc xe thử nghiệm chuyển động thẳng dọc theo trục $x$ . Hình E2.11 biểu diễn đồ thị vị trí $x$ theo thời gian. Hãy xác định của xe tại các điểm đánh dấu từ A đến G dựa trên hệ số góc của tiếp tuyến.

Hình E2.11: Đồ thị vị trí của xe thử nghiệm với các điểm A, B, C, D, E, F, G

Hình E2.11: Trục tung biểu thị tọa độ $x$ (mét), trục hoành biểu thị thời gian $t$ (giây).

Mục 2.3 — Gia tốc trung bình và Gia tốc tức thời

Bài tập 2: 12 •

Hình E2.12 ghi lại đồ thị của một chiếc ô tô chạy năng lượng mặt trời theo thời gian. Xe tăng tốc từ biển báo dừng xe, chạy đều trong $20 s$ với tốc độ ổn định $60 km / h$ , sau đó hãm phanh dừng hẳn sau $40 s$ kể từ lúc xuất phát. (a) Tính trên các khoảng thời gian: (i) $0$ đến $10 s$ ; (ii) $30$ đến $40 s$ ; (iii) $10$ đến $30 s$ ; (iv) $0$ đến $40 s$ . (b) Xác định gia tốc tức thời tại các thời điểm $t = 20 s$ và $t = 35 s$ .

Hình E2.12: Đồ thị vận tốc theo thời gian của xe năng lượng mặt trời

Hình E2.12: Trục tung $v_{x}$ tính bằng $km / h$ , trục hoành $t$ tính bằng giây.

Bài tập 2: 13 • CALC

Một chú rùa bò dọc theo một đường thẳng chọn làm trục $x$ với chiều dương hướng sang phải. Phương trình tọa độ của rùa theo thời gian là:

x (t) = 50.0 cm + (2.00 cm / s) t - (0.0625 cm / s^{2}) t^{2} .

(a) Tìm tọa độ ban đầu, ban đầu và của rùa. (b) Vận tốc tức thời của rùa triệt tiêu vào thời điểm nào? (c) Sau bao lâu kể từ lúc bắt đầu bò, chú rùa quay trở lại đúng vị trí ban đầu? (d) Rùa cách vị trí ban đầu một khoảng $10.0 cm$ vào những thời điểm nào? Độ lớn và hướng vận tốc tại mỗi thời điểm đó ra sao? (e) Phác họa các đồ thị $x (t)$ , $v_{x} (t)$ , và $a_{x} (t)$ trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $40 s$ .

Bài tập 2: 14 •• CALC

Một chiếc xe đua xuất phát từ trạng thái nghỉ và lao về phía đông trên đường đua thẳng nằm ngang. Trong $5.0 s$ đầu tiên, thành phần hướng đông của xe tuân theo hàm: $v_{x} (t) = (0.860 m / s^{3}) t^{2}$ . của xe tại khoảnh khắc vận tốc đạt $v_{x} = 12.0 m / s$ bằng bao nhiêu?

Bài tập 2: 15 • CALC

của một chiếc ô tô chuyển động thẳng được cho bởi biểu thức: $v_{x} (t) = α + β t^{2}$ , trong đó $α = 3.00 m / s$ và $β = 0.100 m / s^{3}$ . (a) Tính trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 5.00 s$ . (b) Tính gia tốc tức thời tại $t = 0$ và tại $t = 5.00 s$ . (c) Phác họa đồ thị $v_{x} (t)$ và $a_{x} (t)$ trong khoảng thời gian nói trên.

Bài tập 2: 16 •

Một nữ phi hành gia rời Trạm Vũ trụ Quốc tế (ISS) để thực hiện chuyến đi bộ ngoài không gian thử nghiệm thiết bị đẩy cá nhân mới. Các cảm biến đo được những biến thiên sau, mỗi biến thiên diễn ra trong khoảng thời gian $10 s$ . Hãy xác định độ lớn, dấu đại số và hướng của vector trên mỗi khoảng (chọn chiều dương sang phải): (a) Ban đầu cô trôi sang phải dọc theo trục $x$ với tốc độ $15.0 m / s$ , sau $10 s$ cô vẫn trôi sang phải nhưng tốc độ giảm còn $5.0 m / s$ . (b) Ban đầu cô trôi sang trái với $5.0 m / s$ , sau $10 s$ cô trôi sang trái với $15.0 m / s$ . (c) Ban đầu cô trôi sang phải với $15.0 m / s$ , sau $10 s$ cô đã đổi hướng trôi sang trái với $15.0 m / s$ .

Bài tập 2: 17 •• CALC

Vị trí của cản trước trên một chiếc ô tô tự hành thử nghiệm được điều khiển bằng máy tính tuân theo hàm số:

x (t) = 2.17 m + (4.80 m / s^{2}) t^{2} - (0.100 m / s^{6}) t^{6} .

(a) Hãy xác định vị trí và của cản trước tại những thời điểm mà của xe triệt tiêu ( $v_{x} = 0$ ). (b) Phác họa các đồ thị $x (t)$ , $v_{x} (t)$ , và $a_{x} (t)$ của cản trước trong khoảng từ $t = 0$ đến $t = 2.00 s$ .

Mục 2.4 — Chuyển động với gia tốc không đổi

Bài tập 2: 18 •

Hãy ước lượng quãng đường (tính bằng foot) mà chiếc xe của bạn đi được trên một làn đường tăng tốc dẫn vào xa lộ khi tăng tốc từ tốc độ trong đô thị $30 mi / h$ lên tốc độ xa lộ $70 mi / h$ . trong quá trình đó bằng bao nhiêu?

Bài tập 2: 19 ••

Một chú linh dương chạy thẳng với không đổi, vượt qua hai điểm mốc cách nhau $70.0 m$ trong khoảng thời gian $6.00 s$ . Tốc độ của linh dương khi vừa quét qua mốc thứ hai là $15.0 m / s$ . Hãy xác định: (a) Tốc độ của linh dương khi đi qua mốc thứ nhất. (b) Gia tốc của linh dương trong suốt đoạn đường này.

Bài tập 2: 20 •• — Động học của cú giao bóng tennis

Trong các cú giao bóng sấm sét của các tay vợt hàng đầu thế giới, quả bóng tennis có thể rời mặt vợt với tốc độ lên tới $73.14 m / s$ ( $263.3 km / h$ ). Quả bóng thường tiếp xúc và được tăng tốc trên mặt dây vợt trong khoảng thời gian cực ngắn cỡ $30.0 ms$ , xuất phát từ trạng thái đứng yên tức thời. Giả sử trong cú đánh là không đổi: (a) Gia tốc mà mặt vợt truyền cho quả bóng bằng bao nhiêu? (b) Quả bóng bị nén và dịch chuyển một đoạn bao xa trong thời gian tiếp xúc với vợt?

Bài tập 2: 21 • — Cú ném bóng chày siêu tốc

Trong lịch sử bóng chày chuyên nghiệp, quả bóng trong cú ném nhanh kỷ lục rời tay vận động viên ném bóng (pitcher) với tốc độ $45.0 m / s$ ( $162 km / h$ ). Cánh tay của vận động viên đã tăng tốc cho quả bóng trên một cung đường thẳng có chiều dài $1.50 m$ với coi như không đổi. (a) Gia tốc truyền cho quả bóng chày bằng bao nhiêu? (b) Cú vung tay ném bóng diễn ra trong khoảng thời gian bao lâu?

Bài tập 2: 22 •

Bạn đang lái xe trên xa lộ liên bang ở đúng tốc độ tối đa cho phép $70 mi / h$ thì bất ngờ nhận thấy dòng xe phía trước đang dừng hẳn lại do sự cố. Bạn đạp phanh khẩn cấp để giảm tốc nhanh nhất có thể. (a) Hãy ước lượng thời gian cần thiết để giảm tốc độ xuống $30 mi / h$ và tính độ lớn hãm trung bình. (b) Với cùng gia tốc hãm đó, xe cần thêm bao nhiêu thời gian nữa để dừng lại hoàn toàn? (c) Tổng quãng đường xe trượt từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu?

Bài tập 2: 23 •• BIO — Cơ chế bảo vệ của túi khí ô tô

Theo các nghiên cứu y sinh học về chấn thương va chạm, cơ thể con người có khả năng sống sót cao sau một vụ tai nạn nếu độ lớn của hãm tác dụng lên lồng ngực không vượt quá $250 m / s^{2}$ (khoảng $25 g$ ). Nếu một chiếc xe gặp tai nạn khi đang chạy với tốc độ $105 km / h$ ( $65 mi / h$ ) và túi khí bung ra từ vô lăng để hãm cơ thể người lái dừng lại: Quãng đường biến dạng tối thiểu mà túi khí phải tạo ra để bảo vệ tính mạng hành khách là bao nhiêu?

Bài tập 2: 24 • — Nhập làn xa lộ an toàn

Một chiếc ô tô đang dừng chờ tại làn đường nhánh dẫn vào xa lộ, chờ đợi một khoảng trống an toàn trong dòng phương tiện. Khi có cơ hội, tài xế đạp ga tăng tốc đều từ trạng thái nghỉ dọc theo làn nhánh thẳng dài $120 m$ và đạt tốc độ $20 m / s$ ( $72 km / h$ ) ở cuối làn để hòa vào dòng xe. (a) của chiếc xe trong làn nhánh bằng bao nhiêu? (b) Thời gian xe chạy hết chiều dài làn nhánh là bao lâu? (c) Giả sử dòng xe trên làn chính của xa lộ đang duy trì tốc độ đều $20 m / s$ . Trong khoảng thời gian ô tô tăng tốc trên làn nhánh, dòng xe trên xa lộ đã di chuyển được một quãng đường bao xa?

Bài tập 2: 25 • BIO — Thử nghiệm an toàn va chạm với túi khí

Khi xảy ra va chạm trực diện, túi khí ô tô bung ra trong tích tắc nhằm giảm thiểu tối đa lực va đập nguy hiểm so với việc đập trực tiếp vào vô lăng hay kính chắn gió. Theo các tiêu chuẩn thử nghiệm an toàn va chạm quốc tế, cơ thể người có thể chịu được hãm cực đại lên tới $60 g$ nếu thời gian tác dụng chỉ kéo dài trong khoảng $36 ms$ hoặc ngắn hơn. Hãy tính quãng đường mà một hành khách dịch chuyển trong khi dừng lại hoàn toàn trong $36 ms$ dưới gia tốc hãm không đổi có độ lớn $60 g$ .

Bài tập 2: 26 ••

Một chú mèo đi lại trên một hành lang thẳng chọn làm trục $x$ với chiều dương hướng sang phải. Dữ liệu cảm biến chuyển động ghi lại đồ thị của chú mèo theo thời gian như Hình E2.26. (a) Xác định vận tốc tức thời của chú mèo tại các thời điểm $t = 4.0 s$ và $t = 7.0 s$ . (b) của chú mèo tại các thời điểm $t = 3.0 s$ , $t = 6.0 s$ và $t = 7.0 s$ bằng bao nhiêu? (c) Chú mèo đi được quãng đường dài bao nhiêu trong $4.5 s$ đầu tiên, và trong toàn bộ khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 7.0 s$ ? (d) Giả thiết chú mèo xuất phát từ gốc tọa độ ( $x_{0} = 0$ ), hãy vẽ đồ thị gia tốc — thời gian $a_{x} (t)$ và tọa độ — thời gian $x (t)$ tương ứng.

Hình E2.26: Đồ thị vận tốc theo thời gian của chú mèo chuyển động một chiều

Hình E2.26: Trục tung $v_{x}$ đo bằng $cm / s$ , trục hoành $t$ đo bằng giây.

Mục 2.4 — Chuyển động biến đổi đều (tiếp theo)

Bài tập 2: 27 • BIO — Thuyết tha sinh: Liệu sự sống có nguồn gốc từ Sao Hỏa?

Một giả thuyết khoa học nghiêm túc (thuyết tha sinh — panspermia) cho rằng sự sống nguyên thủy từng bắt nguồn trên Sao Hỏa rồi được đưa đến Trái Đất sau khi một vụ va chạm thiên thạch khổng lồ bắn các mảnh đá chứa vi sinh vật thoát khỏi trường hấp dẫn của Sao Hỏa. Thiên thạch nổi tiếng ALH 84001 phát hiện tại Nam Cực năm 1984 là một minh chứng thực tế cho việc các khối đá Sao Hỏa có thể vượt không gian để rơi xuống Trái Đất. Một phản biện quan trọng đối với giả thuyết này là liệu vi khuẩn có thể sống sót sau va chạm khủng khiếp hay không. Để thắng được lực hút của Sao Hỏa, mảnh đá phải đạt tốc độ thoát $5.0 km / s$ , và quá trình tăng tốc này diễn ra trên quãng đường biến dạng chỉ khoảng $4.0 m$ . (a) Nếu giả sử gia tốc trong vụ nổ va chạm là không đổi, độ lớn của gia tốc này bằng bao nhiêu theo $m / s^{2}$ và theo bội số của $g$ ? (b) Cú sốc gia tốc này kéo dài trong khoảng thời gian bao lâu? (c) Trong các thử nghiệm siêu ly tâm thực tế, hơn $40 %$ số bào tử vi khuẩn Bacillus subtilis vẫn sống sót kỳ diệu sau khi chịu gia tốc lên tới $450 000 g$ . Dựa trên kết quả ở câu (a), liệu có thể bác bỏ giả thuyết sự sống bay từ Sao Hỏa sang Trái Đất hay không?

Bài tập 2: 28 •

Hai chiếc ô tô A và B cùng chuyển động trên một tuyến đường thẳng dọc theo trục $x$ . Hình E2.28 biểu diễn đồ thị vị trí $x$ theo thời gian của hai xe. (a) Hãy vẽ sơ đồ chuyển động chấm điểm biểu diễn vị trí, vector và vector của mỗi xe tại các thời điểm $t = 0$ , $1.0 s$ và $3.0 s$ . (b) Hai xe có cùng tọa độ (gặp nhau) vào những thời điểm nào? (c) Dựng đồ thị vận tốc theo thời gian $v_{x} (t)$ của cả hai xe trên cùng một hệ trục. (d) Hai xe có cùng vận tốc tức thời vào thời điểm nào? (e) Xe A vượt qua xe B vào thời điểm nào? (f) Xe B vượt qua xe A vào thời điểm nào?

Hình E2.28: Đồ thị tọa độ hai xe A và B theo thời gian

Hình E2.28: Trục tung biểu thị tọa độ $x$ (mét), trục hoành biểu thị thời gian $t$ (giây). Đường cong và đường thẳng biểu diễn hai quy luật chuyển động của xe A và xe B.

Bài tập 2: 29 ••

Hình E2.29 biểu diễn đồ thị theo thời gian của một cảnh sát giao thông đi mô tô tuần tra. (a) Xác định của mô tô tại các thời điểm $t = 3.0 s$ , $7.0 s$ và $11.0 s$ . (b) Mô tô cảnh sát đã chạy được một quãng đường dài bao nhiêu trong $5.0 s$ đầu tiên, $9.0 s$ đầu tiên và $13.0 s$ đầu tiên?

Hình E2.29: Đồ thị vận tốc theo thời gian của mô tô cảnh sát

Hình E2.29: Trục tung $v_{x}$ đo bằng $m / s$ , trục hoành $t$ đo bằng giây.

Bài tập 2: 30 ••

Một vật nhỏ trượt không ma sát xuống một mặt phẳng nghiêng với không đổi. Vật được thả từ trạng thái nghỉ tại đỉnh dốc, và khi trượt được quãng đường $6.80 m$ xuống chân dốc thì đạt tốc độ $3.80 m / s$ . Tốc độ của vật khi nó trượt được nửa dốc (cách đỉnh $3.40 m$ ) bằng bao nhiêu?

Bài tập 2: 31 ••

(a) Một con bọ chét có thể bật nhảy thẳng đứng lên không trung đạt độ cao ấn tượng $0.440 m$ . Tốc độ cất cánh của bọ chét ngay khi chân vừa rời mặt đất bằng bao nhiêu? (b) Toàn bộ cú nhảy (từ lúc rời đất đến khi chạm đất trở lại) diễn ra trong bao lâu?

Bài tập 2: 32 ••

Từ mép sân thượng của một tòa nhà cao $30.0 m$ , bạn ném một viên đá nhỏ thẳng đứng lên cao với tốc độ ban đầu $22.0 m / s$ . Khi rơi xuống, viên đá sượt qua mép tòa nhà và rơi thẳng xuống mặt đường bên dưới. Bỏ qua sức cản của không khí. (a) Tốc độ của viên đá ngay trước khoảnh khắc va chạm với mặt đường bằng bao nhiêu? (b) Tổng thời gian từ lúc ném đá đến khi đá chạm mặt đường là bao lâu?

Mục 2.5 — Chuyển động rơi tự do

Bài tập 2: 33 •

Một nghệ sĩ xiếc tung hứng ném một con ki bowling thẳng đứng lên cao với tốc độ ban đầu $8.20 m / s$ . Sau bao lâu con ki sẽ rơi trở lại đúng tầm tay của người nghệ sĩ?

Bài tập 2: 34 ••

Bạn tung một cục bột trét thẳng đứng lên trần nhà nằm cách vị trí rời tay $3.60 m$ . Tốc độ ban đầu lúc tung bột là $9.50 m / s$ . (a) Tốc độ của cục bột ngay trước khi đập vào trần nhà bằng bao nhiêu? (b) Khoảng thời gian từ lúc rời tay đến khi đập vào trần là bao lâu?

Bài tập 2: 35 ••

Trong một trận thi đấu thể thao trên Sao Hỏa (nơi chỉ bằng $g_{Mars} = 0.379 g \approx 3.71 m / s^{2}$ và bầu khí quyển loãng bỏ qua được sức cản), một quả bóng tennis được đánh thẳng đứng lên không trung và rơi lại đúng vị trí đánh sau $8.5 s$ . (a) Quả bóng bay lên độ cao cực đại bao nhiêu so với điểm đánh? (b) Tốc độ ban đầu của bóng ngay sau cú đánh bằng bao nhiêu? (c) Phác họa các đồ thị vị trí thẳng đứng $y (t)$ , thẳng đứng $v_{y} (t)$ và $a_{y} (t)$ trong suốt thời gian bóng bay.

Bài tập 2: 36 ••

Hãy ước lượng độ cao cực đại (tính bằng foot) mà bạn có thể ném một quả bóng chày thẳng đứng lên không trung. (a) Với độ cao ước lượng đó, quả bóng sẽ mất bao lâu để rơi trở lại tay bạn? (b) Ước lượng quãng đường cánh tay bạn vung đẩy quả bóng (từ vị trí bắt đầu lấy đà đến khi bóng rời tay) và tính (theo $m / s^{2}$ ) mà cánh tay truyền cho quả bóng từ trạng thái nghỉ.

Bài tập 2: 37 ••

Một hòn sỏi được ném thẳng đứng lên cao với tốc độ đầu $24.0 m / s$ . Bỏ qua sức cản không khí. (a) Tại thời điểm $t = 1.0 s$ , và của hòn sỏi hướng theo chiều nào? Tốc độ lúc này đang tăng hay giảm? (b) Trả lời các câu hỏi tương tự tại thời điểm $t = 3.0 s$ .

Bài tập 2: 38 ••

Một viên gạch bị trượt khỏi giàn giáo trên mái nhà và từ trạng thái nghỉ, chạm mặt đất sau $1.90 s$ . Bỏ qua sức cản không khí. (a) Mái nhà nằm ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất? (b) Tốc độ của viên gạch ngay trước khi chạm đất bằng bao nhiêu? (c) Phác họa các đồ thị $a_{y} (t)$ , $v_{y} (t)$ và $y (t)$ của viên gạch.

Bài tập 2: 39 •• — Đo thời gian phản xạ sinh học bằng thước kẻ rơi tự do

Một chiếc thước mét được giữ thẳng đứng phía trên bàn tay, đầu dưới của thước nằm giữa ngón cái và ngón trỏ đang mở sẵn. Khi người giữ bất ngờ buông tay (không báo trước), bạn lập tức kẹp chặt hai ngón tay để giữ thước lại. Ta có thể xác định chính xác thời gian phản xạ thần kinh thông qua khoảng rơi $d$ đọc trực tiếp trên thân thước. (a) Hãy thiết lập công thức toán học liên hệ giữa thời gian phản xạ $t_{react}$ và khoảng rơi $d$ . (b) Nếu khoảng cách rơi đo được là $d = 17.6 cm$ , thời gian phản xạ của bạn bằng bao nhiêu?

Bài tập 2: 40 •• — Động học của module đổ bộ Mặt Trăng

Một tàu đổ bộ vũ trụ đang từ từ hạ cánh xuống Căn cứ Mặt Trăng I (Hình E2.40). Động cơ hãm ngược dòng phụ trách giảm tốc độ rơi của tàu. Khi tàu còn cách bề mặt Mặt Trăng $5.0 m$ và đang hạ xuống với tốc độ $0.80 m / s$ , phi hành gia chủ động tắt động cơ để tàu hoàn toàn xuống bề mặt. Tốc độ va chạm tiếp đất của tàu bằng bao nhiêu? Biết gia tốc trọng trường trên Mặt Trăng là $g_{Moon} = 1.6 m / s^{2}$ .

Hình E2.40: Module đổ bộ hạ cánh xuống bề mặt Mặt Trăng

Hình E2.40: Tàu đổ bộ tắt động cơ ở độ cao $5.0 m$ và trong trường hấp dẫn của Mặt Trăng.

Bài tập 2: 41 •• — Sự cố động cơ tên lửa nghiên cứu khí quyển

Một tên lửa nghiên cứu có khối lượng $7500 kg$ rời bệ phóng thẳng đứng với hướng lên không đổi $2.25 m / s^{2}$ , lực cản khí quyển coi như không đáng kể. Khi tên lửa đạt độ cao $525 m$ , động cơ đột ngột gặp sự cố tắt phụt; kể từ đó tên lửa chỉ chuyển động dưới tác dụng của trọng lực. (a) Độ cao cực đại mà tên lửa đạt được so với bệ phóng là bao nhiêu? (b) Sau bao lâu kể từ lúc động cơ tắt, tên lửa sẽ rơi trở lại bệ phóng, và tốc độ va chạm ngay trước khi chạm bệ phóng bằng bao nhiêu? (c) Phác họa các đồ thị $a_{y} (t)$ , $v_{y} (t)$ và $y (t)$ từ lúc rời bệ đến ngay trước khi va chạm.

Bài tập 2: 42 ••

Một người đứng trên giỏ khinh khí cầu đang bay thẳng đứng lên đều với không đổi $5.00 m / s$ đã vô ý làm rơi một túi cát khi khinh khí cầu đang ở độ cao $40.0 m$ so với mặt đất (Hình E2.42). Sau khi rời khỏi giỏ, túi cát chuyển động . (a) Xác định vị trí và vận tốc của túi cát sau $0.250 s$ và $1.00 s$ kể từ lúc rơi. (b) Túi cát sẽ chạm mặt đất sau bao nhiêu giây? (c) Tốc độ của túi cát ngay trước khi chạm đất bằng bao nhiêu? (d) Túi cát đạt độ cao lớn nhất cách mặt đất bao nhiêu mét? (e) Phác họa các đồ thị $a_{y} (t)$ , $v_{y} (t)$ và $y (t)$ của túi cát.

Hình E2.42: Khinh khí cầu đang bay lên và làm rơi túi cát

Hình E2.42: bay lên ban đầu của túi cát đúng bằng vận tốc của khinh khí cầu ( $v_{0 y} = + 5.00 m / s$ ) tại độ cao ban đầu $y_{0} = 40.0 m$ .

Bài tập 2: 43 •

Bạn ném một hòn đá thẳng đứng lên cao và thấy nó rơi trở lại tay bạn sau $3.60 s$ . Bỏ qua sức cản không khí. Độ cao cực đại mà hòn đá đạt được so với bàn tay bạn bằng bao nhiêu?

Bài tập 2: 44 •

Một quả trứng được ném gần như thẳng đứng lên cao từ mép mái hiên của một tòa nhà cao tầng. Trên đường rơi xuống, quả trứng sượt qua mép mái và bay qua một điểm nằm thấp hơn điểm ném $30.0 m$ sau đúng $5.00 s$ kể từ khoảnh khắc rời tay. Bỏ qua sức cản không khí. (a) ban đầu lúc ném quả trứng bằng bao nhiêu? (b) Quả trứng bay lên cao thêm bao nhiêu mét so với điểm ném? (c) Tốc độ của quả trứng tại điểm cao nhất bằng bao nhiêu? (d) của quả trứng tại điểm cao nhất có độ lớn và hướng nào? (e) Phác họa các đồ thị $a_{y} (t)$ , $v_{y} (t)$ và $y (t)$ .

Bài tập 2: 45 ••

Một khối đá trọng lượng $15 kg$ được thả từ trạng thái nghỉ trên Trái Đất và chạm đất sau $1.75 s$ . Nếu mang đúng khối đá đó thả rơi từ cùng độ cao trên Enceladus (mặt trăng băng giá của Sao Thổ), khối đá phải mất tới $18.6 s$ mới chạm bề mặt. Hãy xác định gia tốc trọng trường trên bề mặt Enceladus.

Bài tập 2: 46 •

Trong một vụ phun trào núi lửa, một khối đá lớn bị bắn thẳng đứng lên không trung với tốc độ ban đầu $40.0 m / s$ . Bỏ qua sức cản của không khí. (a) Sau bao lâu khối đá sẽ bay lên với tốc độ $20.0 m / s$ ? (b) Sau bao lâu khối đá sẽ rơi xuống với tốc độ $20.0 m / s$ ? (c) Tại thời điểm nào thì của khối đá so với miệng núi lửa triệt tiêu? (d) Tại thời điểm nào thì của khối đá bằng 0? (e) Xác định độ lớn và hướng của vector khi khối đá: (I) đang bay lên; (ii) đang rơi xuống; (iii) tại điểm cao nhất. (f) Phác họa các đồ thị $a_{y} (t)$ , $v_{y} (t)$ và $y (t)$ .

Bài tập 2: 47 ••

Từ thành của một cây cầu cao bắc qua sông, bạn ném một viên sỏi nhỏ thẳng đứng lên trời. Viên sỏi bay lên rồi rơi xuống sượt qua tầm tay bạn sau $6.00 s$ kể từ lúc ném. Hãy xác định tốc độ của viên sỏi ngay trước khi chạm mặt nước nằm cách vị trí rời tay $28.0 m$ về phía dưới. Bỏ qua lực cản không khí.

Mục 2.6 — Xác định vận tốc và vị trí bằng phương pháp tích phân

Bài tập 2: 48 ••

Xét lại chuyển động của chú mèo có đồ thị $v_{x} (t)$ ở Hình E2.26. (a) Hãy tính diện tích hình học dưới đồ thị vận tốc từ $t = 0$ đến $t = 6.0 s$ . (b) Trong khoảng thời gian này, độ lớn vận tốc trung bình của chú mèo bằng bao nhiêu? (c) Áp dụng các phương trình chuyển động biến đổi đều từng đoạn để tính tổng quãng đường chú mèo đã đi, và so sánh kết quả đó với diện tích tính được ở câu (a).

Bài tập 2: 49 • CALC

Một tên lửa nghiên cứu xuất phát từ trạng thái nghỉ và bay thẳng đứng lên từ mặt đất. Trong $10.0 s$ đầu tiên, hướng lên của tên lửa tăng tuyến tính theo hàm: $a_{y} (t) = (2.80 m / s^{3}) t$ (chọn chiều $+ y$ hướng lên). (a) Độ cao của tên lửa so với mặt đất tại thời điểm $t = 10.0 s$ bằng bao nhiêu? (b) Tốc độ của tên lửa khi nó đạt độ cao $325 m$ bằng bao nhiêu?

Bài tập 2: 50 •• CALC

Một chất điểm chuyển động dọc theo trục $x$ với phụ thuộc thời gian: $a_{x} (t) = - (0.0320 m / s^{3}) (15.0 s - t)$ . Tại thời điểm $t = 0$ , chất điểm ở tọa độ $x = - 14.0 m$ và có ban đầu $v_{0 x} = 8.00 m / s$ . Hãy xác định tọa độ $x$ của chất điểm tại thời điểm $t = 10.0 s$ .

Bài tập 2: 51 •• CALC

của một chiếc mô tô tăng tốc trên đường thử nghiệm tuân theo hàm số: $a_{x} (t) = A t - B t^{2}$ , trong đó $A = 1.50 m / s^{3}$ và $B = 0.120 m / s^{4}$ . Mô tô đứng yên tại gốc tọa độ ở thời điểm ban đầu $t = 0$ . (a) Hãy xác định phương trình $v_{x} (t)$ và vị trí $x (t)$ theo thời gian. (b) Tính vận tốc lớn nhất mà mô tô đạt được trong quá trình chuyển động.

Bài tập 2: 52 •• CALC

của một xe buýt khởi hành được cho bởi biểu thức: $a_{x} (t) = α t$ , với $α = 1.20 m / s^{3}$ . (a) Nếu của xe tại $t = 1.0 s$ là $5.0 m / s$ , thì vận tốc tại thời điểm $t = 2.0 s$ bằng bao nhiêu? (b) Nếu vị trí của xe tại $t = 1.0 s$ là $x = 6.0 m$ , thì vị trí tại thời điểm $t = 2.0 s$ bằng bao nhiêu? (c) Phác họa các đồ thị gia tốc $a_{x} (t)$ , vận tốc $v_{x} (t)$ và tọa độ $x (t)$ của xe buýt.

Lưu ý về ký hiệu hệ trục trong bài 2.52

Trong một số tài liệu học tập, câu hỏi (c) có thể ghi nhầm là $a_{y}$ và $v_{y}$ do lỗi in ấn; tuy nhiên bài toán đang khảo sát chuyển động thẳng một chiều dọc theo trục hoành, do đó các đồ thị cần vẽ chuẩn xác là $a_{x} (t)$ , $v_{x} (t)$ và $x (t)$ .

Bài tập tổng hợp và Vận dụng nâng cao

Hệ thống bài tập dưới đây đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa tư duy phân tích hiện tượng, kỹ năng chia chặng chuyển động và công cụ toán học (đại số bậc hai, giải tích vi ).

Bài tập 2: 53 • BIO — Sinh cơ học chạy nước rút

Một vận động viên điền kinh nam cự ly ngắn có thể duy trì cực đại trong khoảng thời gian $2.0 s$ đầu tiên, và đạt tới tốc độ chạy tối đa là $10.0 m / s$ . Khi đã đạt tới tốc độ giới hạn này, gia tốc của anh ta triệt tiêu và anh ta tiếp tục duy trì tốc độ đều trên suốt quãng đường còn lại. Giả sử vận động viên xuất phát từ trạng thái nghỉ và chuyển động trên một đường chạy thẳng tắp: (a) Khi vừa đạt tới tốc độ tối đa, vận động viên đã chạy được quãng đường dài bao nhiêu? (b) Độ lớn của vận động viên trong các cự ly thi đấu: (I) $50.0 m$ ; (ii) $100.0 m$ ; (iii) $200.0 m$ bằng bao nhiêu?

Bài tập 2: 54 • CALC

Một module đổ bộ đang từ từ hạ cánh xuống bề mặt Mặt Trăng. Trong giai đoạn hãm phanh cuối cùng trước khi tiếp đất, độ cao của module so với bề mặt tuân theo hàm số: $y (t) = b - c t + d t^{2}$ , trong đó $b = 800 m$ là độ cao ban đầu, $c = 60.0 m / s$ và $d = 1.05 m / s^{2}$ . (a) ban đầu của module tại thời điểm $t = 0$ bằng bao nhiêu? (b) Vận tốc của module ngay trước khoảnh khắc bánh đáp chạm bề mặt Mặt Trăng bằng bao nhiêu?

Bài tập 2: 55 ••• — Ứng dụng động học trong địa chấn học

Khi một trận động đất bùng phát trong lòng đất, nó phát đi nhiều loại sóng chấn động lan truyền trong thạch quyển. Hai loại sóng địa chấn cơ bản nhất là sóng dọc P (Primary wave — sóng áp suất lan truyền nhanh nhất) và sóng ngang S (Secondary wave — sóng cắt lan truyền chậm hơn). Trong lớp vỏ Trái Đất, sóng P truyền đi với khoảng $6.5 km / s$ , trong khi sóng S truyền với tốc độ khoảng $3.5 km / s$ . Độ trễ thời gian $Δ t$ giữa thời điểm sóng P và sóng S lần lượt kích hoạt máy đo tại trạm địa chấn cho phép các nhà khoa học xác định ngay khoảng cách từ tâm chấn đến trạm ghi. Nếu một trạm địa chấn ghi nhận sóng S đến sau sóng P đúng $33 s$ , tâm chấn động đất nằm cách trạm bao xa?

Bài tập 2: 56 ••

Từ mép sân thượng của một tòa nhà cao tầng có chiều cao $H$ so với mặt đất, bạn ném một viên sỏi nhỏ thẳng đứng lên cao với tốc độ đầu $V_{0}$ . Viên sỏi đạt độ cao cực đại sau thời gian $T_{max}$ , sau đó rơi xuống tự do, sượt qua mép sân thượng và chạm đất sau tổng thời gian bay là $T_{total}$ . Bỏ qua sức cản không khí. Nếu tổng thời gian viên sỏi bay lơ lửng trên không trung gấp đúng 3 lần thời gian bay lên đỉnh cao nhất ( $T_{total} = 3 T_{max}$ ), hãy thiết lập biểu thức tính ban đầu $V_{0}$ theo $g$ và $H$ .

Bài tập 2: 57 •••

Một tên lửa đẩy mang vệ tinh bay thẳng đứng lên từ bệ phóng trên mặt đất. Sau $1.15 s$ kể từ lúc điểm hỏa cất cánh, tên lửa bay ngang qua đỉnh tháp phóng cao $63.0 m$ . Bay thêm một khoảng thời gian $4.75 s$ nữa, tên lửa đã đạt tới độ cao $1.00 km$ so với mặt đất. Hãy xác định độ lớn của tên lửa: (a) Trong khoảng thời gian bay $4.75 s$ thứ hai. (b) Trong toàn bộ khoảng thời gian $5.90 s$ đầu tiên kể từ lúc rời bệ phóng.

Bài tập 2: 58 ••

Một vật nhỏ trượt trên mặt sàn ngang, tại thời điểm $t = 0$ vật đi qua gốc tọa độ $x = 0$ và đang chuyển động về phía đông với tốc độ $12.0 m / s$ . Do tác dụng của ngoại lực, vật chịu một không đổi hướng về phía tây có độ lớn $2.00 m / s^{2}$ . Vật tiếp tục trượt sang phía đông, chậm dần đều, dừng lại tức thời rồi đảo chiều trượt nhanh dần về phía tây. (a) Sau bao lâu kể từ $t = 0$ , vật sẽ quay trở lại đúng gốc tọa độ $x = 0$ ? (b) Tọa độ cực đại về phía đông mà vật vươn tới được bằng bao nhiêu, và vật mất bao nhiêu thời gian để đến được vị trí biên này?

Bài tập 2: 59 ••

Một vật trượt không ma sát xuống một máng nghiêng thẳng với không đổi. Vật xuất phát từ trạng thái nghỉ tại đỉnh máng lúc $t = 0$ và đạt tốc độ $3.00 m / s$ sau khi trượt được quãng đường $8.00 m$ . (a) Tốc độ của vật sau khi trượt được quãng đường $16.0 m$ từ đỉnh máng bằng bao nhiêu? (b) Vật cần bao nhiêu thời gian để trượt hết quãng đường $16.0 m$ nói trên?

Bài tập 2: 60 •••

Một đoàn tàu điện ngầm xuất phát từ trạng thái nghỉ tại ga thứ nhất, tăng tốc đều với $1.60 m / s^{2}$ trong $14.0 s$ , sau đó duy trì tốc độ ổn định chạy đều trong suốt $70.0 s$ , rồi hãm phanh với gia tốc không đổi có độ lớn $3.50 m / s^{2}$ cho đến khi dừng hẳn tại sân ga kế tiếp. Hãy tính tổng khoảng cách giữa hai ga liên tiếp.

Bài tập 2: 61 •

Một chú linh dương gazelle chạy trên một đường mòn thẳng chọn làm trục $x$ . Hình P2.61 ghi lại đồ thị $v_{x} (t)$ của linh dương trong $12.0 s$ đầu tiên. (a) Tính tổng quãng đường linh dương đã chạy. (b) Xác định của linh dương trong khoảng thời gian này. (c) Phác họa đồ thị theo thời gian $a_{x} (t)$ trong $12.0 s$ đầu.

Hình P2.61: Đồ thị vận tốc theo thời gian của linh dương gazelle

Hình P2.61: Trục tung $v_{x}$ đo bằng $m / s$ , trục hoành $t$ đo bằng giây.

Bài tập 2: 62 •• — Ngăn chặn thảm họa va chạm đường sắt

Một đoàn tàu chở khách đang chạy trên đường ray thẳng với tốc độ $25.0 m / s$ thì người lái tàu bàng hoàng phát hiện đuôi của một đoàn tàu chở hàng đang ở phía trước cách mũi tàu mình đúng $200 m$ trên cùng một tuyến ray (Hình P2.62). Đoàn tàu chở hàng đang chạy đều cùng chiều với tốc độ $15.0 m / s$ . Người lái tàu khách lập tức gạt cần phanh khẩn cấp, tạo ra một hãm không đổi có độ lớn $0.100 m / s^{2}$ , trong khi tàu hàng vẫn tiếp tục hành trình đều đặn. Chọn gốc tọa độ $x = 0$ tại vị trí mũi tàu khách vào khoảnh khắc bắt đầu phanh. (a) Liệu thảm họa va chạm đuôi tàu có xảy ra hay không? (b) Nếu va chạm xảy ra, vị trí va chạm cách điểm phanh bao xa? (c) Hãy phác họa đồ thị vị trí của mũi tàu khách và đuôi tàu hàng theo thời gian trên cùng một hệ trục để minh họa trực quan bài toán.

Hình P2.62: Tàu khách hãm phanh sau tàu hàng trên cùng đường ray

Hình P2.62: Tàu khách có đầu $25.0 m / s$ và hãm $a = - 0.100 m / s^{2}$ ; tàu hàng chạy đều với tốc độ $15.0 m / s$ , cách tàu khách $200 m$ lúc phanh.

Bài tập 2: 63 •••

Một quả bóng lăn không ma sát xuống một dốc thẳng từ trạng thái nghỉ với không đổi. Dữ liệu ghi hình cho thấy trong khoảng thời gian $5.0 s$ thứ hai (từ $t = 5.0 s$ đến $10.0 s$ ), quả bóng lăn được quãng đường $200 m$ . Quả bóng đã lăn được quãng đường bao xa trong khoảng thời gian $5.0 s$ đầu tiên (từ $t = 0$ đến $5.0 s$ )?

Bài tập 2: 64 ••

Một hòn đá đang chuyển động thẳng theo chiều dương $+ x$ với tốc độ $16.0 m / s$ thì đúng vào thời điểm $t = 0$ bắt đầu chịu một lực cản không đổi gây ra hướng theo chiều âm $- x$ với độ lớn $4.00 m / s^{2}$ . Hãy xác định ba thời điểm khác nhau sau $t = 0$ mà hòn đá cách vị trí ban đầu một khoảng đúng bằng $24.0 m$ . Với mỗi thời điểm, hãy tìm độ lớn và hướng của vector .

Bài tập 2: 65 •

Một chiếc ô tô con và một xe tải cùng xuất phát từ trạng thái nghỉ trên một đại lộ thẳng, ô tô ban đầu ở phía sau xe tải một khoảng cách nào đó. Xe tải tăng tốc với không đổi $2.10 m / s^{2}$ , trong khi ô tô con tăng tốc mạnh hơn với gia tốc $3.40 m / s^{2}$ . Ô tô con đuổi kịp và vượt qua xe tải đúng lúc xe tải vừa chạy được một quãng đường dài $60.0 m$ . (a) Thời gian từ lúc xuất phát đến khi ô tô đuổi kịp xe tải là bao lâu? (b) Ban đầu ô tô con đỗ ở phía sau xe tải một khoảng cách bao xa? (c) Tốc độ của mỗi xe tại khoảnh khắc hai xe chạy ngang hàng nhau bằng bao nhiêu? (d) Phác họa đồ thị vị trí của hai xe theo thời gian trên cùng một hệ trục tọa độ (chọn gốc $x = 0$ tại vị trí xuất phát của xe tải).

Bài tập 2: 66 ••

Bạn đang đứng chờ ở trạm xe buýt. Một chiếc xe buýt chạy qua trạm với tốc độ đều $5.00 m / s$ . Khi đuôi xe buýt đã vượt qua bạn một đoạn $12.0 m$ , bạn mới giật mình nhận ra đó là chuyến xe mình cần đi và lập tức rảo bước chạy đuổi theo với không đổi $0.960 m / s^{2}$ . Bạn phải chạy một quãng đường dài bao nhiêu thì mới chạm được tay vào đuôi xe buýt, và khi đó tốc độ chạy của bạn bằng bao nhiêu? Một người bình thường có khả năng đạt được tốc độ đó để lên xe hay không?

Bài tập 2: 67 ••

Một nữ vận động viên hoàn thành cự ly chạy $100 m$ với thành tích ấn tượng $12.0 s$ . Cô xuất phát từ trạng thái nghỉ với không đổi $a_{x}$ trong $3.0 s$ đầu tiên, sau đó duy trì tốc độ đều tối đa trên toàn bộ đoạn đường còn lại cho tới khi cán đích. Hãy xác định gia tốc xuất phát $a_{x}$ của cô.

Bài tập 2: 68 •• CALC

của một chất điểm chuyển động dọc trục $x$ được mô tả bởi phương trình: $v_{x} (t) = α - β t^{2}$ , trong đó $α = 4.00 m / s$ và $β = 2.00 m / s^{3}$ . Tại thời điểm ban đầu $t = 0$ , chất điểm ở gốc tọa độ $x = 0$ . (a) Hãy xác định phương trình vị trí $x (t)$ và $a_{x} (t)$ theo thời gian. (b) dương lớn nhất so với gốc tọa độ mà chất điểm đạt được là bao nhiêu?

Bài tập 2: 69 •• CALC

Một hạt chuyển động dọc theo trục $x$ , ở gốc tọa độ $x = 0$ tại thời điểm $t = 0$ . Thành phần của hạt biến thiên theo thời gian theo quy luật: $v_{x} (t) = α t - β t^{3}$ , trong đó $α = 8.00 m / s^{2}$ và $β = 4.00 m / s^{4}$ . (a) Tại thời điểm $t > 0$ nào thì hạt quay trở lại đúng gốc tọa độ $x = 0$ ? (b) Tại thời điểm đó, độ lớn và hướng của vận tốc và của hạt bằng bao nhiêu?

Bài tập 2: 70 • — Thí nghiệm vui trên giảng đường vật lý

Từ sân thượng của tòa nhà khoa Vật lý ở độ cao $46.0 m$ so với mặt đất, một sinh viên tinh nghịch nhìn thấy thầy giáo vật lý của mình (cao $1.80 m$ ) đang rảo bước bên cạnh tòa nhà với tốc độ không đổi $1.20 m / s$ (Hình P2.70). Nếu sinh viên đó muốn thả một quả trứng trúng vào đỉnh đầu thầy giáo, thì khoảng cách theo phương ngang giữa thầy giáo và vị trí chân tòa nhà thẳng dưới quả trứng phải là bao nhiêu tại khoảnh khắc buông tay?

Hình P2.70: Thả trứng từ sân thượng tòa nhà vật lý

Hình P2.70: Tòa nhà cao $46.0 m$ , người đi bộ cao $1.80 m$ và chuyển động đều với $1.20 m / s$ .

Bài tập 2: 71 ••• CALC

của một chất điểm chuyển động thẳng biến thiên theo hàm số: $a_{x} (t) = - 2.00 m / s^{2} + (3.00 m / s^{3}) t$ . (a) Hãy tìm ban đầu $v_{0 x}$ sao cho tọa độ của chất điểm tại thời điểm $t = 4.00 s$ trùng đúng với tọa độ lúc ban đầu $t = 0$ . (b) Vận tốc tức thời của chất điểm tại $t = 4.00 s$ khi đó bằng bao nhiêu?

Bài tập 2: 72 ••

Từ mép mái một tòa nhà cao $H$ , một viên sỏi được ném thẳng đứng lên cao với tốc độ đầu $v_{0}$ . Viên sỏi bay lên rồi rơi thẳng xuống chân tòa nhà. Chọn trục $O y$ hướng thẳng đứng lên trên và bỏ qua sức cản không khí. (a) Hãy xác định thành phần thẳng đứng của $v_{tb - y}$ trên toàn bộ hành trình từ mái xuống đất. Đại lượng này mang giá trị âm hay dương? Giải thích rõ ý nghĩa vật lý. (b) Biểu thức ở câu (a) sẽ cho kết quả như thế nào trong trường hợp giới hạn khi chiều cao tòa nhà tiến về 0 ( $H \to 0$ )? (c) Hãy chứng minh rằng kết quả ở câu (a) hoàn toàn nhất quán với định nghĩa vận tốc trung bình của chuyển động biến đổi đều $v_{tb - y} = \frac{1}{2} (v_{0 y} + v_{y})$ .

Bài tập 2: 73 ••

Một quả dưa hấu bị trượt khỏi mép sân thượng của một tòa nhà cao tầng và xuống đất. Bạn đang đứng trên vỉa hè nhìn lên và thấy quả dưa đang lao xuống khi nó ở độ cao $30.0 m$ so với mặt đất. Đúng $1.50 s$ kể từ khoảnh khắc bạn nhìn thấy nó, quả dưa rơi chạm đất ngay trước mặt bạn. Chiều cao của tòa nhà đó bằng bao nhiêu? Bỏ qua sức cản không khí.

Bài tập 2: 74 •••

Một chậu hoa bị rơi khỏi bậu cửa sổ của một căn hộ chung cư cao tầng và thẳng đứng qua một ô cửa sổ ở tầng bên dưới. Bỏ qua sức cản không khí. Người trong nhà bấm giờ thấy chậu hoa mất đúng $0.380 s$ để rơi từ mép trên xuống mép dưới của ô cửa sổ có chiều cao $1.90 m$ . Mép trên của ô cửa sổ này nằm thấp hơn bậu cửa sổ nơi chậu hoa bắt đầu rơi một khoảng cách bằng bao nhiêu?

Bài tập 2: 75 ••• — Kỹ thuật đẩy tạ và phản xạ an toàn

Vận động viên Sam thực hiện bài tập đẩy một quả tạ nặng $16 lb$ ( $7.26 kg$ ) thẳng đứng lên cao. Cánh tay anh tăng tốc cho quả tạ từ trạng thái nghỉ với hướng lên không đổi $35.0 m / s^{2}$ trên quãng đường $64.0 cm$ . Quả tạ rời tay anh ở độ cao $2.20 m$ so với mặt đất. Bỏ qua sức cản không khí. (a) Tốc độ của quả tạ lúc vừa rời tay Sam bằng bao nhiêu? (b) Quả tạ bay lên tới độ cao cực đại cách mặt đất bao nhiêu mét? (c) Sau khi buông tạ, Sam có bao nhiêu thời gian để né người trước khi quả tạ rơi trở lại ngang tầm đỉnh đầu anh (cao $1.83 m$ so với mặt đất)?

Bài tập 2: 76 ••• — Tên lửa hai tầng bay vào quỹ đạo

Một tên lửa hai tầng được phóng thẳng đứng từ trạng thái nghỉ trên bệ phóng. Tầng thứ nhất hoạt động với động cơ đẩy tạo ra hướng lên không đổi $3.50 m / s^{2}$ trong $25.0 s$ . Hết $25.0 s$ , tầng thứ nhất tách ra và tầng thứ hai lập tức điểm hỏa hoạt động trong $10.0 s$ , đưa của tên lửa lên tới $132.5 m / s$ hướng lên tại thời điểm $t = 35.0 s$ kể từ lúc rời bệ. Đúng lúc này thì toàn bộ nhiên liệu cạn kiệt; kể từ đây tên lửa chỉ bay theo quán tính dưới tác dụng của trọng lực. Bỏ qua sức cản của khí quyển. (a) Xác định độ cao cực đại mà phần thân tên lửa tầng hai vươn tới được so với mặt đất. (b) Sau bao lâu kể từ khoảnh khắc tầng hai tắt máy thì tên lửa sẽ rơi trở lại bệ phóng? (c) Tốc độ va chạm của tên lửa ngay trước khi chạm bệ phóng bằng bao nhiêu?

Bài tập 2: 77 ••

Hai viên đá cùng được ném thẳng đứng lên cao từ mặt đất, trong đó viên thứ nhất có tốc độ ban đầu lớn gấp ba lần viên thứ hai ( $v_{01} = 3 v_{02}$ ). (a) Nếu viên đá thứ nhất mất $10.0 s$ để bay lên rồi rơi trở lại mặt đất, thì viên đá thứ hai sẽ mất bao lâu? (b) Nếu viên đá thứ hai bay lên đạt độ cao cực đại là $H$ , thì viên đá thứ nhất sẽ đạt tới độ cao cực đại bằng bao nhiêu lần $H$ ?

Bài tập tổng hợp chuyên sâu

Bài tập 2: 78 ••• — Thiết kế thông số động cơ tên lửa nghiên cứu

Trong một dự án nghiên cứu hàng không vũ trụ, bạn được giao nhiệm vụ thiết kế một tên lửa khí tượng tầng cao mini. Tên lửa xuất phát từ trạng thái nghỉ trên mặt đất và được yêu cầu phải đạt tới độ cao cực đại là $960 m$ . Động cơ nhiên liệu rắn tạo ra hướng lên không đổi $16.0 m / s^{2}$ trong suốt thời gian động cơ hoạt động $T$ . Khi cạn nhiên liệu, động cơ tắt và tên lửa tiếp tục bay lên theo quán tính (). Bỏ qua sức cản của khí quyển. Thời gian hoạt động $T$ của động cơ phải được thiết kế bằng bao nhiêu để tên lửa đạt đúng độ cao đỉnh theo yêu cầu?

Bài tập 2: 79 •••

Một chiếc trực thăng quân sự cất cánh thẳng đứng từ mặt đất với hướng lên không đổi $5.0 m / s^{2}$ . Đúng lúc trực thăng rời mặt đất, mật vụ Powers nhảy bám vào càng trực thăng. Sau $10.0 s$ vật lộn trên không, Powers ngắt động cơ trực thăng và nhảy ra ngoài. Kể từ thời điểm đó, chiếc trực thăng hoàn toàn xuống đất (bỏ qua sức cản không khí). (a) Chiếc trực thăng đạt độ cao cực đại cách mặt đất bao nhiêu mét trước khi rơi xuống? (b) Powers rơi tự do trong $7.0 s$ sau khi rời máy bay rồi mới kích hoạt bộ phản lực cá nhân mini, tạo ra một gia tốc hãm hướng lên không đổi giúp anh giảm tốc với gia tốc hướng xuống là $2.0 m / s^{2}$ . Đúng vào thời điểm chiếc trực thăng đâm xuống đất nổ tung, Powers đang ở độ cao bao nhiêu so với mặt đất?

Bài tập 2: 80 •• — Đo độ sâu vực thẳm bằng tiếng vọng âm thanh

Trong chuyến thám hiểm dãy núi High Sierra mù sương, bạn bất ngờ đứng trước mép một vách đá thẳng đứng thăm thẳm. Không thể nhìn thấy đáy vực, bạn nhặt một hòn sỏi thả từ mép vực và dùng đồng hồ bấm giờ đo được đúng $8.00 s$ sau thì nghe thấy tiếng sỏi đập vào đáy vực vọng lên tai. (a) Bỏ qua sức cản không khí, vách đá cao bao nhiêu mét? Biết tốc độ truyền âm thanh trong không khí là $330 m / s$ . (b) Nếu người đo bỏ qua thời gian truyền âm thanh và ngây thơ coi toàn bộ $8.00 s$ là thời gian sỏi rơi tự do ( $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ ), thì kết quả ước lượng sẽ lớn hơn hay nhỏ hơn chiều cao thực tế? Giải thích bản chất sai số này.

Bài tập 2: 81 •• CALC

Một chất điểm chuyển động thẳng dọc theo trục $x$ . Tại thời điểm ban đầu $t = 0$ , chất điểm có $v_{0 x} = 20.0 m / s$ . Kể từ đó, lực cản môi trường tạo ra hãm biến thiên theo thời gian: $a_{x} (t) = - C t$ (trong đó $C$ là một hằng số dương tính bằng $m / s^{3}$ ). (a) Hằng số $C$ bằng bao nhiêu nếu chất điểm dừng lại hoàn toàn sau $8.00 s$ ? (b) Với giá trị $C$ tìm được, chất điểm đi được quãng đường bao xa trong $8.00 s$ hãm phanh đó?

Bài tập 2: 82 ••

Một quả bóng thứ nhất được ném thẳng đứng lên cao từ mặt đất với tốc độ ban đầu $v_{0}$ . Đúng vào thời điểm đó, một quả bóng thứ hai được thả từ trạng thái nghỉ ở độ cao $H$ trên cùng một đường thẳng đứng. Bỏ qua sức cản không khí. (a) Xác định thời điểm $t$ mà hai quả bóng va chạm nhau trên không trung. (b) Hãy tìm biểu thức của $H$ theo $v_{0}$ và $g$ để tại thời điểm va chạm, quả bóng thứ nhất đang ở đúng đỉnh cao nhất của quỹ đạo nó.

Bài tập 2: 83 • CALC

Hai chiếc ô tô thử nghiệm A và B cùng chuyển động trên đường thẳng xuất phát từ cùng một gốc tọa độ tại $t = 0$ . Tọa độ của xe A là $x_{A} (t) = α t + β t^{2}$ với $α = 2.60 m / s$ và $β = 1.20 m / s^{2}$ . Tọa độ của xe B là $x_{B} (t) = γ t^{2} - δ t^{3}$ với $γ = 2.80 m / s^{2}$ và $δ = 0.20 m / s^{3}$ . (a) Xe nào vượt lên dẫn đầu ngay sau khi xuất phát? (b) Hai xe gặp nhau tại những thời điểm nào sau $t = 0$ ? (c) Tại thời điểm nào thì khoảng cách giữa hai xe đạt cực trị (không tăng cũng không giảm)? (d) Tại thời điểm nào thì hai xe có cùng ?

Bài tập 2: 84 •• DATA — Kỹ thuật tuyến tính hóa dữ liệu thực nghiệm

Trong bài thực hành động học trên đệm khí không ma sát nghiêng góc $θ$ , sinh viên thả một con trượt từ trạng thái nghỉ tại nhiều vị trí khác nhau. Một hệ thống cổng quang điện tử đo thời gian $t$ để con trượt đi hết quãng đường $x$ từ điểm thả tới chân dốc. Hình P2.84 thể hiện các điểm dữ liệu đo và đường cong khớp thực nghiệm. Vì các phép đo luôn có sai số ngẫu nhiên, thay vì chỉ tính từ một lần đo đơn lẻ, phương pháp tuyến tính hóa đồ thị sẽ cho kết quả trung bình với độ tin cậy cao nhất. (a) Cần biến đổi hệ trục tọa độ như thế nào để các điểm thực nghiệm chuyển từ đường cong parabol về phân bố xung quanh một đường thẳng? (Gợi ý: Dựa vào hệ thức $x = \frac{1}{2} a t^{2}$ , hãy xem xét vẽ $x$ theo $t^{2}$ hoặc $t$ theo $\sqrt{x}$ ).(b) Thiết lập phương trình đường hồi quy tuyến tính phù hợp nhất với dữ liệu. (c) Dựa vào hệ số góc của đường thẳng hồi quy, hãy xác định gia tốc chuyển động $a$ của con trượt. (d) Nếu thả con trượt từ vị trí cách chân dốc $x = 1.35 m$ , tốc độ của nó khi tới chân dốc là bao nhiêu?

Hình P2.84: Dữ liệu thực nghiệm quãng đường và thời gian của con trượt đệm khí

Hình P2.84: Trục tung $t$ ghi bằng giây, trục hoành $x$ ghi bằng mét. Các điểm chấm rời rạc là dữ liệu đo thực nghiệm từ cổng quang điện tử.

Bài tập 2: 85 •• DATA — Khảo sát ảnh hưởng của lực cản khí động học

Trong một thí nghiệm vật lý, sinh viên thả một viên bi thép đặc từ nhiều độ cao khác nhau và dùng cảm biến tốc độ đo tốc độ va chạm chạm đất $v$ . Đồ thị thực nghiệm biểu diễn độ cao thả $h$ (trên trục tung, mét) theo bình phương tốc độ chạm đất $v^{2}$ (trên trục hoành, $m^{2} / s^{2}$ ) là một đường thẳng tắp. (a) Khi bỏ qua sức cản không khí với $g = 9.80 m / s^{2}$ , hệ số góc của đường thẳng lý thuyết này bằng bao nhiêu? Ghi rõ đơn vị đo. (b) Khi lặp lại thí nghiệm với một quả bóng tennis nhẹ và xốp hơn (lực cản không khí tác dụng rõ rệt và tăng theo bình phương ), ở cùng một độ cao thả, tốc độ chạm đất của bóng tennis sẽ lớn hơn, nhỏ hơn hay bằng tốc độ của bi thép? (c) Đồ thị độ cao thả theo bình phương tốc độ cuối của bóng tennis có còn là một đường thẳng hay không? Hãy phác họa dạng đường cong định tính khi có lực cản không khí.

Bài tập 2: 86 ••• DATA — Xử lý dữ liệu cảm biến gia tốc kế MEMS

Một mô hình ô tô tự hành xuất phát từ trạng thái nghỉ trên đường thử thẳng. Một chiếc điện thoại thông minh gắn chặt trên thân xe sử dụng cảm biến kế vi cơ điện tử (MEMS) để ghi lại độ lớn gia tốc sau mỗi khoảng thời gian $1.00 s$ . Bảng số liệu thu được như sau:

Thời gian $t$ ( $s$ )	$a$ ( $m / s^{2}$ )
$0.00$	$5.95$
$1.00$	$5.52$
$2.00$	$5.08$
$3.00$	$4.55$
$4.00$	$3.96$
$5.00$	$3.40$

(a) Vẽ đồ thị các điểm theo thời gian và tìm phương trình đường thẳng khớp tuyến tính $a (t) = a_{0} - k t$ tốt nhất với dữ liệu thực nghiệm. (b) Dùng phép tính hàm $a (t)$ vừa tìm được để thiết lập hàm $v (t)$ . Phác họa đồ thị $v (t)$ ; đồ thị này có phải là một đường thẳng hay không? (c) Tính tốc độ của chiếc xe mô hình tại thời điểm $t = 5.00 s$ . (d) Tính tổng quãng đường xe đã đi được từ $t = 0$ đến $t = 5.00 s$ .

Bài tập thử thách cực hạn

Bài tập 2: 87 ••• — Giải mã ảo giác "treo trên không" (Hang Time) trong bóng rổ

Trong một cú úp rổ ngoạn mục, các siêu sao bóng rổ NBA dường như "treo lơ lửng" trên không trung ở đỉnh cú nhảy trước khi úp bóng, tạo nên ảo giác thị giác kỳ thú cho hàng vạn khán giả. Ngay cả những vận động viên bật nhảy xuất sắc nhất lịch sử cũng chỉ có tổng thời gian bay trên không (hang time) quanh mức $1.0 s$ . Xem vận động viên như một chất điểm và gọi $y_{max}$ là độ cao cực đại mà trọng tâm cơ thể đạt được so với mặt sàn. Để giải mã nghịch lý cơ học này, hãy tính tỉ số giữa thời gian vận động viên ở nửa trên của độ cao nhảy (từ $y_{max} / 2$ đến $y_{max}$ ) so với thời gian vận động viên ở nửa dưới (từ mặt sàn $0$ lên đến $y_{max} / 2$ ). Kết quả này giải thích thế nào về cảm giác người xem thấy vận động viên "dừng lại trên không"? Bỏ qua lực cản không khí.

Bài tập 2: 88 ••• — Động học của hành khách đuổi theo xe buýt

Một nữ sinh hớt hải chạy với tốc độ tối đa không đổi $5.0 m / s$ để đuổi theo một chiếc xe buýt đang đỗ ở trạm. Đúng khi cô còn cách đuôi xe buýt $40.0 m$ , chiếc xe buýt bắt đầu lăn bánh rời trạm với không đổi $0.170 m / s^{2}$ . (a) Cô gái phải chạy trong bao lâu và trên quãng đường bao xa thì vừa chạm được vào đuôi xe buýt? (b) Khi cô chạm tới đuôi xe, của xe buýt là bao nhiêu? (c) Phác họa đồ thị vị trí $x (t)$ của cô gái và xe buýt trên cùng một hệ trục (chọn $x = 0$ tại vị trí ban đầu của cô gái). (d) Phương trình tọa độ ở câu (a) có một nghiệm toán học thứ hai lớn hơn. Hãy giải thích ý nghĩa vật lý của nghiệm thứ hai này nếu như cả hai tiếp tục duy trì chuyển động không đổi. Tốc độ của xe buýt khi đó là bao nhiêu? (e) Nếu thể lực của cô gái chỉ cho phép chạy với tốc độ tối đa $3.5 m / s$ , liệu cô có thể bắt kịp xe buýt được không? (f) Tốc độ chạy tối thiểu mà cô gái cần phải có để vừa vặn chạm được vào xe buýt là bao nhiêu? Trong tình huống đó, cô phải chạy trong bao lâu và bao xa?

Bài tập 2: 89 ••• — Bài toán hai quả bóng thả lệch pha

Từ mép sân thượng của một tòa nhà cao tầng, quả bóng thứ nhất được ném thẳng đứng lên cao với tốc độ đầu $v_{0}$ . Đúng $1.00 s$ sau, quả bóng thứ hai được buông từ trạng thái nghỉ từ cùng mép sân thượng đó. Bỏ qua sức cản không khí. (a) Nếu tòa nhà cao $h = 20.0 m$ , tốc độ ném ban đầu $v_{0}$ của quả bóng thứ nhất phải bằng bao nhiêu để cả hai quả bóng chạm mặt đất hoàn toàn đồng thời? Phác họa đồ thị tọa độ $y (t)$ của cả hai bóng trên cùng một hệ trục. (b) Chiều cao tòa nhà $h$ phải bằng bao nhiêu để hai bóng chạm đất cùng lúc nếu: (I) $v_{0} = 6.0 m / s$ ; (ii) $v_{0} = 9.5 m / s$ ? (c) Nếu tốc độ ném $v_{0}$ vượt quá một ngưỡng cực đại $v_{max}$ , sẽ không tồn tại bất kỳ chiều cao tòa nhà $h$ nào thỏa mãn điều kiện chạm đất đồng thời. Hãy tìm giá trị $v_{max}$ này và giải thích ý nghĩa vật lý trực giác của nó. (d) Tương tự, nếu $v_{0}$ nhỏ hơn một ngưỡng cực tiểu $v_{min}$ , bài toán cũng vô nghiệm. Hãy tìm giá trị $v_{min}$ và giải thích ý nghĩa vật lý của nó.

Bài tập đọc hiểu & Tư duy tích hợp theo chuẩn MCAT

Chuyên đề Sinh cơ học: Động học dòng máu trong hệ tuần hoàn

Hệ tuần hoàn của con người là một mạng lưới thủy lực kín hoàn chỉnh: Máu giàu oxy được tâm thất trái co bóp tống vào động mạch chủ, luân chuyển qua mạng lưới mạch máu phân nhánh liên tục tới các mao mạch nuôi mô, rồi thu gom qua hệ tĩnh mạch đổ về tim. Máu trong các buồng tim tạm thời đứng yên tương đối trước mỗi kỳ tâm thu co bóp của cơ tim.

Bài tập 2: 90

Thời kỳ tâm thu co bóp của tâm thất trái diễn ra trong khoảng thời gian $Δ t = 250 ms$ , và tốc độ của dòng máu trong động mạch chủ đạt tới $0.80 m / s$ ở thời điểm cuối của nhịp co bóp. Độ lớn của một tế bào hồng cầu khi vừa được tống ra khỏi tim là bao nhiêu? (a) $310 m / s^{2}$ (b) $31 m / s^{2}$ (c) $3.2 m / s^{2}$ (d) $0.32 m / s^{2}$

Bài tập 2: 91

Động mạch chủ có đường kính trong là $d_{a}$ phân nhánh thành hai động mạch chậu có kích thước giống hệt nhau, sao cho tổng diện tích tiết diện của hai nhánh động mạch mới đúng bằng diện tích tiết diện của động mạch chủ ban đầu (đảm bảo lưu lượng máu liên tục). Đường kính của mỗi nhánh động mạch con bằng bao nhiêu? (a) $\sqrt{d_{a}}$ (b) $d_{a} / \sqrt{2}$ (c) $2 d_{a}$ (d) $d_{a} / 2$

Bài tập 2: 92

Trong chẩn đoán y khoa hiện đại, của dòng máu chảy qua van động mạch chủ có thể được đo đạc liên tục bằng kỹ thuật siêu âm Doppler tim. Hình P2.92 thể hiện dạng đồ thị vận tốc dòng máu điển hình trong một chu kỳ nhịp tim. Nhận định nào dưới đây giải thích chính xác nhất đồ thị thực nghiệm này? (a) Dòng máu bắt đầu đổi chiều chảy ngược lại vào khoảng thời điểm $0.25 s$ . (b) Tốc độ của dòng máu bắt đầu giảm dần vào khoảng thời điểm $0.10 s$ . (c) Độ lớn của dòng máu đạt giá trị lớn nhất vào khoảng thời điểm $0.25 s$ . (d) Độ lớn gia tốc của dòng máu đạt giá trị lớn nhất vào khoảng thời điểm $0.10 s$ .

Hình P2.92: Đồ thị vận tốc dòng máu trong động mạch chủ theo thời gian trong một chu kỳ tim

Hình P2.92: Trục tung biểu thị của dòng máu ( $m / s$ ), trục hoành biểu thị thời gian ( $s$ ). Vận tốc tăng vọt ở đầu kỳ tâm thu đạt cực đại rồi giảm dần về 0.

Đáp án tham khảo các bài tập biến thể và Bài toán tổng hợp

Câu hỏi khởi động đầu chương

Chọn (iii): là đại lượng đặc trưng cho mọi sự biến thiên của vector theo thời gian, bao gồm cả trường hợp tăng tốc (nhanh dần), giảm tốc (chậm dần) lẫn đổi hướng chuyển động.

Đáp án các bài biến thể rèn luyện kỹ năng

Bài tập biến thể VP2.5.1

(a) Thời gian từ lúc xuất phát đến khi đuổi kịp: $t = 4.5 s$ .
(b) Quãng đường xe thể thao đã chạy: $d = 81 m$ .

Bài tập biến thể VP2.5.2

(a) của mô tô cảnh sát: $a = 4.80 m / s^{2}$ .
(b) Quãng đường mô tô đã chạy: $d = 375 m$ .

Bài tập biến thể VP2.5.3

(a) Thời gian xe cảnh sát bắt kịp lại: $t = 11.1 s$ .
(b) Quãng đường xe SUV đã chạy: $d = 222 m$ .
(c) Tốc độ của xe SUV khi bị bắt kịp: $v = 10.0 m / s$ .

Bài tập biến thể VP2.5.4

(a) Thời điểm xe tải bắt kịp ô tô con: $t = \frac{2 v_{C}}{a_{T} + a_{C}}$ .
(b) Tọa độ vị trí gặp nhau: $x = \frac{2 a_{T} v_{C}^{2}}{(a_{T} + a_{C})^{2}}$ .

Bài tập biến thể VP2.7.1

(a) Tại $t = 0.300 s$ : $y = + 3.16 m$ , $v_{y} = + 9.06 m / s$ (bóng ở phía trên vị trí rời tay và đang bay lên).
(b) Tại $t = 2.60 s$ : $y = - 1.92 m$ , $v_{y} = - 13.5 m / s$ (bóng ở phía dưới vị trí rời tay và đang rơi xuống).

Bài tập biến thể VP2.7.2

(a) Sau $1.50 s$ : $y = - 23.0 m$ , $v_{y} = - 22.7 m / s$ .
(b) Khi ở vị trí $y = - 8.00 m$ : $v_{y} = - 14.9 m / s$ .

Bài tập biến thể VP2.7.3

(a) Tốc độ lúc rời tay: $v_{0} = 8.87 m / s$ .
(b) Thời gian bay lên đến độ cao $4.00 m$ : $t = 0.854 s$ .

Bài tập biến thể VP2.7.4

(a) Tốc độ lúc vừa rời tay: $v_{0} = \sqrt{2 g H}$ .
(b) Tốc độ tại độ cao $y = H / 2$ : $v = \sqrt{g H} = \frac{1}{\sqrt{2}} v_{0} \approx 0.707 v_{0}$ .
(c) Độ cao khi tốc độ giảm còn một nửa: $y = \frac{3 H}{4}$ .

Bài tập biến thể VP2.8.1

(a) Hai thời điểm hòn sỏi ở độ cao $+ 4.00 m$ : $t_{1} = 0.398 s$ (lượt lên) và $t_{2} = 2.05 s$ (lượt xuống).
(b) Thời điểm sỏi rơi xuống vị trí $- 4.00 m$ : $t = 2.75 s$ .

Bài tập biến thể VP2.8.2

Thời điểm bóng rơi xuống vị trí thấp hơn điểm ném $5.00 m$ : $t = 0.447 s$ .

Bài tập biến thể VP2.8.3

(a) Quả táo đi qua độ cao $+ 1.30 m$ hai lần: $t_{1} = 0.338 s$ (khi bay lên) và $t_{2} = 0.784 s$ (khi rơi xuống).
(b) Tại độ cao $+ 1.80 m$ : Không lần nào (vì độ cao cực đại quả táo đạt được chỉ là $h_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} \approx 1.54 m$ ).

Bài tập biến thể VP2.8.4

(a) Tại thời điểm $t = \frac{v_{0}}{g}$ : Quả cam ở đỉnh quỹ đạo, bằng 0 (không đi lên cũng không đi xuống).
(b) Tại độ cao $y = \frac{3 v_{0}^{2}}{8 g}$ : Quả cam đi qua tại $t_{1} = \frac{v_{0}}{2 g}$ (lượt đi lên) và $t_{2} = \frac{3 v_{0}}{2 g}$ (lượt đi xuống).

Đáp án Bài toán tổng hợp

Chiều cao tòa nhà trong bài toán Green Lantern rơi tự do

Chiều cao của tòa nhà: $h \approx 57.1 m$ .

Đáp số tham khảo bài tập số lẻ

Bảng dưới đây tổng hợp đáp số định lượng của các bài tập mang số lẻ trong chương nhằm hỗ trợ sinh viên tự kiểm tra, đối chiếu kết quả sau khi độc lập giải bài.

Bài tập	Đáp số tham khảo
2.1	$25.0 m$ .
2.3	$55$ phút.
2.5	(a) $0.313 m / s$ ; (b) $1.56 m / s$ .
2.7	(a) $12.0 m / s$ ; (b) (i) $0$ , (ii) $15.0 m / s$ , (iii) $12.0 m / s$ ; (c) $13.3 s$ (xem lưu ý đơn vị bên dưới).
2.9	(a) $2.33 m / s$ , $2.33 m / s$ ; (b) $2.33 m / s$ , $0.33 m / s$ .
2.11	Theo thứ tự từ điểm A đến G: $6.7 m / s$ , $6.7 m / s$ , $0$ , $- 40.0 m / s$ , $- 40.0 m / s$ , $- 40.0 m / s$ , $0$ .
2.13	(a) $2.00 cm / s$ , $50.0 cm$ , $- 0.125 cm / s^{2}$ ; (b) $16.0 s$ ; (c) $32.0 s$ ; (d) $6.20 s$ ( $1.23 cm / s$ ), $25.8 s$ ( $- 1.23 cm / s$ ), $36.4 s$ ( $- 2.55 cm / s$ ).
2.15	(a) $0.500 m / s^{2}$ ; (b) $0$ , $1.00 m / s^{2}$ .
2.17	(a) $2.17 m$ ( $9.60 m / s^{2}$ ); $15.0 m$ ( $- 38.4 m / s^{2}$ ).
2.19	(a) $8.33 m / s$ ; (b) $1.11 m / s^{2}$ .
2.21	(a) $675 m / s^{2}$ ; (b) $0.0667 s$ .
2.23	$1.70 m$ .
2.25	$0.38 m$ .
2.27	(a) $3.1 \times 10^{6} m / s^{2} \approx 3.2 \times 10^{5} g$ ; (b) $1.6 ms$ ; (c) Không loại bỏ giả thuyết.
2.29	(a) $0$ , $6.3 m / s^{2}$ , $- 11.2 m / s^{2}$ ; (b) $100 m$ , $230 m$ , $320 m$ .
2.31	(a) $2.94 m / s$ ; (b) $0.600 s$ .
2.33	$1.67 s$ .
2.35	(a) $33.5 m$ ; (b) $15.8 m / s$ .
2.37	(a) hướng lên, hướng xuống, tốc độ giảm; (b) Vận tốc hướng xuống, gia tốc hướng xuống, tốc độ tăng.
2.39	(a) $t_{react} = \sqrt{2 d / g}$ ; (b) $0.190 s$ .
2.41	(a) $646 m$ ; (b) $16.4 s$ , $112 m / s$ .
2.43	$15.9 m$ .
2.45	$0.0868 m / s^{2}$ .
2.47	$37.6 m / s$ .
2.49	(a) $467 m$ ; (b) $110 m / s$ .
2.51	(a) $x (t) = (0.25 m / s^{3}) t^{3} - (0.010 m / s^{4}) t^{4}$ , $v_{x} (t) = (0.75 m / s^{3}) t^{2} - (0.040 m / s^{4}) t^{3}$ ; (b) $39.1 m / s$ .
2.53	(a) $10.0 m$ ; (b) (i) $8.33 m / s$ , (ii) $9.09 m / s$ , (iii) $9.52 m / s$ .
2.55	$250 km$ .
2.57	(a) $197 m / s$ ; (b) $169 m / s$ .
2.59	(a) $4.24 m / s$ ; (b) $7.54 s$ .
2.61	(a) $92.0 m$ ; (b) $92.0 m$ .
2.63	$67 m$ .
2.65	(a) $7.56 s$ ; (b) $37.2 m$ ; (c) Ô tô $25.7 m / s$ , xe tải $15.9 m / s$ .
2.67	$3.2 m / s^{2}$ .
2.69	(a) $2.0 s$ ; (b) có độ lớn $16 m / s$ hướng theo chiều $- x$ ; có độ lớn $40 m / s^{2}$ hướng theo chiều $- x$ .
2.71	(a) $- 4.00 m / s$ ; (b) $12.0 m / s$ .
2.73	$38.2 m$ .
2.75	(a) $6.69 m / s$ ; (b) $4.49 m$ ; (c) $1.42 s$ .
2.77	(a) $3.3 s$ ; (b) $9 H$ .
2.79	(a) $380 m$ ; (b) $184 m$ .
2.81	(a) $0.625 m / s^{3}$ ; (b) $107 m$ .
2.83	(a) Xe A; (b) $2.27 s$ , $5.73 s$ ; (c) $1.00 s$ , $4.33 s$ ; (d) $2.67 s$ .
2.85	(a) $0.0510 s^{2} / m$ ; (b) Nhỏ hơn; (c) Không phải đường thẳng.
2.87	Tỉ số thời gian là $4.8$ (thời gian ở nửa trên gấp gần 5 lần nửa dưới, tạo ảo giác lơ lửng trên không).
2.89	(a) $8.2 m / s$ ; (b) (i) $0.411 m$ , (ii) $1.15 km$ ; (c) $9.8 m / s$ ; (d) $4.9 m / s$ .
2.91	Chọn (b): $d_{a} / \sqrt{2}$ .

Lưu ý sư phạm về đơn vị và độ chính xác tính toán

Bài 2.7(c): Đề bài yêu cầu tìm thời gian, nên đơn vị chuẩn phải là giây ( $t \approx 13.3 s$ ). Trong một số ấn bản trước đây từng xuất hiện lỗi in nhầm đơn vị là $m / s$ .
Bài 2.69(b): Vector có thành phần đại số $a_{x} = - 40 m / s^{2}$ . Khi trình bày câu trả lời theo yêu cầu độ lớn và hướng, độ lớn là số dương ( $40 m / s^{2}$ ) và hướng theo chiều âm của trục tọa độ (chiều $- x$ ).
Bài 2.89(a): Với $g = 9.80 m / s^{2}$ và chiều cao $h = 20.0 m$ , tính toán giải tích cho $v_{0} \approx 8.18 m / s \approx 8.2 m / s$ .

Mục tiêu học tập trọng tâm ​

Kiến thức nền tảng cần huy động (từ Chương 1) ​

2.1. Độ dời, thời gian và vận tốc trung bình ​

Vận tốc trung bình (Average Velocity) ​

Bảng 2.1 — Mối liên hệ giữa dấu của vận tốc và hướng chuyển động ​

Ý nghĩa hình học: Đồ thị tọa độ – thời gian (x−t) ​

Bảng 2.2 — Thang bậc độ lớn của vận tốc trong tự nhiên ​

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết mục 2.1 ​

2.2. Vận tốc tức thời và mối liên hệ với đạo hàm ​

Định nghĩa giải tích của vận tốc tức thời ​

Phân biệt rạch ròi: Vận tốc tức thời và Tốc độ tức thời ​

Ví dụ 2.1 — Vận tốc trung bình và tức thời ​

Ý nghĩa hình học: Vận tốc tức thời là độ dốc của tiếp tuyến trên đồ thị x−t ​

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết mục 2.2 ​

2.3. Gia tốc trung bình và gia tốc tức thời ​

Gia tốc trung bình (Average Acceleration) ​

Ví dụ 2.2 — Gia tốc trung bình ​

Gia tốc tức thời và Đạo hàm cấp hai của vị trí ​

Ví dụ 2.3 — Gia tốc trung bình và tức thời ​

Ý nghĩa hình học: Gia tốc trên đồ thị vận tốc – thời gian (v−t) ​

Quy tắc vàng xóa tan ngộ nhận: Dấu của tích số vx⋅ax ​

Bảng 2.3 — Tổng hợp tương quan dấu giữa vận tốc và gia tốc ​

Gia tốc và độ cong của đồ thị vị trí – thời gian (x−t) ​

Bảng 2.4 — Thông điệp vật lý từ hai loại đồ thị động học ​

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết mục 2.3 ​

2.4. Chuyển động thẳng với gia tốc không đổi ​

Hệ bốn phương trình động học cốt lõi ​

Phương trình tọa độ vị trí theo thời gian ​

Phương trình độc lập với thời gian (Hệ thức Torricelli) ​

Bảng 2.5 — Bộ 4 phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều ​

Ứng dụng thực tiễn — Khoảng cách phanh ô tô và Thử nghiệm gia tốc cực hạn ​

Ví dụ 2.4 — Tính toán với gia tốc không đổi ​

Ví dụ 2.5 — Bài toán đuổi bắt giữa hai xe có gia tốc khác nhau ​

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết mục 2.4 ​

2.5. Chuyển động rơi tự do ​

Một ứng dụng đo đạc thú vị: Thước đo thời gian phản xạ sinh học ​

Ví dụ 2.6 — Đồng xu rơi tự do từ tháp nghiêng Pisa ​

Ví dụ 2.7 — Chuyển động hai giai đoạn: Đi lên và rơi xuống ​

Ví dụ 2.8 — Giải thích ý nghĩa vật lý của các nghiệm trong phương trình bậc hai ​

Câu hỏi kiểm tra hiểu bài ​

2.6. Xác định vận tốc và vị trí bằng phương pháp tích phân ​

Một đỉnh cao công nghệ: Hệ thống dẫn đường quán tính (INS) ​

Độ biến thiên vận tốc là tích phân của gia tốc ​

Độ dời là tích phân của vận tốc ​

Ví dụ 2.9 — Chuyển động với gia tốc biến thiên tuyến tính ​

Câu hỏi kiểm tra hiểu bài ​

Tóm tắt kiến thức cốt lõi Chương 2 ​

1. Vận tốc trung bình và Vận tốc tức thời ​

2. Gia tốc trung bình và Gia tốc tức thời ​

3. Chuyển động biến đổi đều (Gia tốc không đổi: ax=const) ​

4. Chuyển động rơi tự do ​

5. Chuyển động với gia tốc biến thiên — Phương pháp vi tích phân ​

Tài liệu tham khảo học thuật ​

Luyện tập có hướng dẫn và Bài toán tổng hợp ​

Các bài biến thể từ Ví dụ 2.5 (Chuyển động đuổi nhau và gặp nhau) ​

Các bài biến thể từ Ví dụ 2.7 (Chuyển động thẳng đứng và Rơi tự do) ​

Các bài biến thể từ Ví dụ 2.8 (Giải và biện luận nghiệm phương trình bậc hai) ​

Bài toán tổng hợp — Cú rơi của siêu anh hùng ​

Câu hỏi thảo luận và Đào sâu bản chất ​

Hệ thống bài tập theo từng chuyên đề ​

Mục 2.1 — Độ dời, thời gian và Vận tốc trung bình ​

Mục 2.2 — Vận tốc tức thời ​

Mục 2.3 — Gia tốc trung bình và Gia tốc tức thời ​

Mục 2.4 — Chuyển động với gia tốc không đổi ​

Mục 2.4 — Chuyển động biến đổi đều (tiếp theo) ​

Mục 2.5 — Chuyển động rơi tự do ​

Mục 2.6 — Xác định vận tốc và vị trí bằng phương pháp tích phân ​

Bài tập tổng hợp và Vận dụng nâng cao ​

Bài tập tổng hợp chuyên sâu ​

Bài tập thử thách cực hạn ​

Bài tập đọc hiểu & Tư duy tích hợp theo chuẩn MCAT ​

Chuyên đề Sinh cơ học: Động học dòng máu trong hệ tuần hoàn ​

Đáp án tham khảo các bài tập biến thể và Bài toán tổng hợp ​

Câu hỏi khởi động đầu chương ​

Đáp án các bài biến thể rèn luyện kỹ năng ​

Đáp án Bài toán tổng hợp ​

Đáp số tham khảo bài tập số lẻ ​

Mục tiêu học tập trọng tâm

Kiến thức nền tảng cần huy động (từ Chương 1)

2.1. Độ dời, thời gian và vận tốc trung bình

Vận tốc trung bình (Average Velocity)

Bảng 2.1 — Mối liên hệ giữa dấu của vận tốc và hướng chuyển động

Ý nghĩa hình học: Đồ thị tọa độ – thời gian ( $x - t$ )

Bảng 2.2 — Thang bậc độ lớn của vận tốc trong tự nhiên

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết mục 2.1

2.2. Vận tốc tức thời và mối liên hệ với đạo hàm

Định nghĩa giải tích của vận tốc tức thời

Phân biệt rạch ròi: Vận tốc tức thời và Tốc độ tức thời

Ví dụ 2.1 — Vận tốc trung bình và tức thời

Ý nghĩa hình học: Vận tốc tức thời là độ dốc của tiếp tuyến trên đồ thị $x - t$

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết mục 2.2

2.3. Gia tốc trung bình và gia tốc tức thời

Gia tốc trung bình (Average Acceleration)

Ví dụ 2.2 — Gia tốc trung bình

Gia tốc tức thời và Đạo hàm cấp hai của vị trí

Ví dụ 2.3 — Gia tốc trung bình và tức thời

Ý nghĩa hình học: Gia tốc trên đồ thị vận tốc – thời gian ( $v - t$ )

Quy tắc vàng xóa tan ngộ nhận: Dấu của tích số $v_{x} \cdot a_{x}$

Bảng 2.3 — Tổng hợp tương quan dấu giữa vận tốc và gia tốc

Gia tốc và độ cong của đồ thị vị trí – thời gian ( $x - t$ )

Bảng 2.4 — Thông điệp vật lý từ hai loại đồ thị động học

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết mục 2.3

2.4. Chuyển động thẳng với gia tốc không đổi

Hệ bốn phương trình động học cốt lõi

Phương trình tọa độ vị trí theo thời gian

Phương trình độc lập với thời gian (Hệ thức Torricelli)

Bảng 2.5 — Bộ 4 phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều

Ứng dụng thực tiễn — Khoảng cách phanh ô tô và Thử nghiệm gia tốc cực hạn

Ví dụ 2.4 — Tính toán với gia tốc không đổi

Ví dụ 2.5 — Bài toán đuổi bắt giữa hai xe có gia tốc khác nhau

Câu hỏi kiểm tra hiểu biết mục 2.4

2.5. Chuyển động rơi tự do

Một ứng dụng đo đạc thú vị: Thước đo thời gian phản xạ sinh học

Ví dụ 2.6 — Đồng xu rơi tự do từ tháp nghiêng Pisa

Ví dụ 2.7 — Chuyển động hai giai đoạn: Đi lên và rơi xuống

Ví dụ 2.8 — Giải thích ý nghĩa vật lý của các nghiệm trong phương trình bậc hai

Câu hỏi kiểm tra hiểu bài

2.6. Xác định vận tốc và vị trí bằng phương pháp tích phân

Một đỉnh cao công nghệ: Hệ thống dẫn đường quán tính (INS)

Độ biến thiên vận tốc là tích phân của gia tốc

Độ dời là tích phân của vận tốc

Ví dụ 2.9 — Chuyển động với gia tốc biến thiên tuyến tính

Câu hỏi kiểm tra hiểu bài

Tóm tắt kiến thức cốt lõi Chương 2

1. Vận tốc trung bình và Vận tốc tức thời

2. Gia tốc trung bình và Gia tốc tức thời

3. Chuyển động biến đổi đều (Gia tốc không đổi: $a_{x} = const$ )

4. Chuyển động rơi tự do

5. Chuyển động với gia tốc biến thiên — Phương pháp vi tích phân

Tài liệu tham khảo học thuật

Luyện tập có hướng dẫn và Bài toán tổng hợp

Các bài biến thể từ Ví dụ 2.5 (Chuyển động đuổi nhau và gặp nhau)

Các bài biến thể từ Ví dụ 2.7 (Chuyển động thẳng đứng và Rơi tự do)

Các bài biến thể từ Ví dụ 2.8 (Giải và biện luận nghiệm phương trình bậc hai)

Bài toán tổng hợp — Cú rơi của siêu anh hùng

Câu hỏi thảo luận và Đào sâu bản chất

Hệ thống bài tập theo từng chuyên đề

Mục 2.1 — Độ dời, thời gian và Vận tốc trung bình

Mục 2.2 — Vận tốc tức thời

Mục 2.3 — Gia tốc trung bình và Gia tốc tức thời

Mục 2.4 — Chuyển động với gia tốc không đổi

Mục 2.4 — Chuyển động biến đổi đều (tiếp theo)

Mục 2.5 — Chuyển động rơi tự do

Mục 2.6 — Xác định vận tốc và vị trí bằng phương pháp tích phân

Bài tập tổng hợp và Vận dụng nâng cao

Bài tập tổng hợp chuyên sâu

Bài tập thử thách cực hạn

Bài tập đọc hiểu & Tư duy tích hợp theo chuẩn MCAT

Chuyên đề Sinh cơ học: Động học dòng máu trong hệ tuần hoàn

Đáp án tham khảo các bài tập biến thể và Bài toán tổng hợp

Câu hỏi khởi động đầu chương

Đáp án các bài biến thể rèn luyện kỹ năng

Đáp án Bài toán tổng hợp

Đáp số tham khảo bài tập số lẻ